초딩때 곱셈이란 덧셈으로부터 파생된 연산이라고 배웠는데, 체에 대해서 접하고나니까 덧셈에 대한 성질만큼 곱셈에 대한 성질도 만족하도록 하는거보면 덧셈이랑 곱셈을 별개의 연산으로 보는 것 같아서 질문올림.
곱셈이란게 덧셈이랑 별개의 연산임? 초등학교 때 보면은 3x6이라는 것은 3을 6번 더하다 라는 것처럼 덧셈으로부터 파생된 것이라고 배웠었고, 이는 유리수로 가도 마찬가지이고 실수여도 마찬가지라 생각하는데 덧셈이랑 곱셈이 별개의 연산으로 봐야하는건지 아닌건지 혼동이 옴.
곱셈과 덧셈은 기본적으로는 별개지만 분배법칙으로 연결되어 있음 3*6=3(1+1+1+1+1+1)=3+3+3+3+3+3이기 때문에 자연수의 곱셈을 덧셈을 여러번 하는 거라고 생각할 수 있는거
그러면 초등학교 때 곱셈의 정의라고 배우는 것은 사실 법칙을 정의라고 배웠던 건가... 그럼 곱셈이란 것의 정의란게 뭔지 모르겠음. Field이야기할 때 덧셈이랑 곱셈을 별개의 것으로 이야기하다보니 별개인가 하다가도 말한 분배법칙 때문에 굳이 곱셈에 대한 성질도 이야기해야하나 의문이 듬.
뭐 기본적으론 덧셈에서 유래된게 맞긴한데 엄밀하게 하려면 별개로 봐야되긴 하지
다항식 같은 경우도 곱셈 연산이 있는데 x를 곱한다는걸 더하기로 이해하긴 곤란하잖슴
근데 그러면 대체 곱셈의 정의를 어떻게 내린건지 갑자기 의문이듬... 덧셈과 곱셈의 관계는 위에 댓글에서 이야기 해준것처럼 분배법칙으로 연결되어 있다고 해도, 곱셈이란 연산에 대해서 어떻게 정의해서 덧셈과는 별개로 봐야하는 건지 모르겠음. Field를 처음 접하고나서 이거 때문에 계속 의문이 들어서 앞으로 나아가질 못하겠음...
그냥 그건 니가 많은 예시들을 못봐서 그럼 ㅇㅇ 더하기랑 곱하기랑 연관이 없어보이는 환들이 개많은데 (Chow/cohomology ring이나 group ring 같은것들) 저렇게 정의를 일반적으로 해놓으면 여러가지 이론들을 이렇게 다양한 예시에 갖다박을수가 있잖슴
그냥 제가 아직 덜배워서 그런가 보군요. 그럼 앞으로 쭉 달려보겠습니다.
자연수만 살펴보면, 집합론이나 페아노 공리계에서는 덧셈을 successor 함수와 recursion theorem 사용해서 먼저 정의한 후, 덧셈과 다시 recursion theorem을 사용해서 곱셈을 정의함
구체적으로 말하면 자연수위에서 S(n)=n+1 함수를 정의하고, 모든 n,m에 대해서 n+(m+1)을 (n+m)+1로 재귀적으로 정의함. 그리고 곱셈은 n x (m+1)을 n x m + n으로 정의함
대수학적 관점에서 보면, 체에서 정의된 곱셈은 그냥 체의 공리를 만족하는 연산 정도로만 생각하면 됨
이경우엔 굳이 어떤 물리적 의미를 찾으려하는 건 무의미함, 위 댓글 말대로 다양한 예시를 살펴보다보면, 그냥 체의 공리를 만족하는 연산이라는 게 점점 와닿을 거임
아 설명 진짜 감사합니다. 이렇게 생각하니까 "그냥 '곱셈'이라는 연산이 있다."라고 생각하면 될 것 같기도 하네요.
첫 댓글이 질문에 제일 정확하다고 봄.. 숫자 1에 연산을 부여하면 나머지 수들을 이룰 수 있어서..
그래서 덧셈과 연관이 없진 않지만 그 관계가 좀 복잡해요 저는 개인적으로, 두번째 댓글이 가장 정확하다 보는데, 덧셈의 일반화 라고 하면 abelian group의 Z-module정도까지 얘기할 있지만 여전히 1로 표현되지 않는 것들간의 곱셈은 적절한 더하기로 표현되지 않거든요. 때문에 일반적인 ring에서의 곱하기는 더하기랑 전혀 상관이 없고 곱셈의 본질적인 성질은 tensor product에서부터 온다고 해야할거에요 그리고 tensor product는 bilinear map에서부터 오고요.
님 나온지 10년된 게임, 20년 된 게임도 고인물 대잔치, 버그 대잔치인데, 나온지 2,000년이 넘은 수학역사를 보면 오죽 별의별이 다 있지 않겠음? 곱셈은 님의 게시글처럼, 역사적으로 보면, 자연수 계산을 빨리 하기 위해서, 서로다른 단위끼리 조정을 위해서 나온것임
그러다가 각종 별의별 일들과 버그(반례) 들이 판치고, 고인물(수학자)들이 새로운 게임법을 도입하고 하다 보니까 지금에 와서는 곱셈이란, 2개의 대상을 1개의 대상으로 보는것 그 이상도 이하도 아님. 덧셈도 마찬가지
덧셈과 곱셈은 기본적으로 분배법칙을 만족하는 연산인걸 빼면 완전히 독립적임. group으로 보면 그냥 associative한 여러 연산중 하나인 것이고 group 의 연산을 덧셈이나 곱셈으로 보진 않잖아? 근데 ring으로 가면 연산 2개를 정의 하는데 분배법칙을 만족하는 덧셈,곱셈을 정의하는거 뿐임. 그 외에 절대적인 정의는 없음 tropical semiring 에서 정의되는 덧셈과 곱셈을 보면 아 그냥 ring에 따라 정의하기 나름인거에 불과하구나 같은 감이 올거임. 절대 곱셈은 덧셈의 반복연산이 아니다.