[일반] 해석 질문

[익명(117.111)]

f가연속이고 cosf(x)가 감소함수이고 f(0)=pi/2면 f가 균등연속?
이거 어케보이죠?
cosf(x)가 감소함수인걸 어케이용할가요??

[wlltmprdclvr4(wlltmprdclvr4)]

대충 풀어봤는데 맞는지 모르겠네. f의 range, f가 incresing, monotone bounded continuous는 uniform conti 3스텝으로

[겨울_(silhouet72)]

정의역이 구간이란 말이 없으면 명제가 거짓임. 반례를 들기 위해 [0, inf)에서 정의된 증가연속함수로서 0에서 pi/2, 무한대 극한이 pi인 함수 g를 하나 잡습니다. 그리고 함수 f를 정확히 x=0, x=n이나 x=n+1/n (n은 2 이상의 정수)에서만 정의하는데, f(0)이나 f(n)은 g에서와 같이 값을 주고 f(n+1/n)에서는

[겨울_(silhouet72)]

g에서의 값에서 2pi를 뺀 것을 값으로 줍니다. 그러면 정의역 각 점이 isolated라 분명 연속이지만, f(n)과 f(n+1/n)의 값이 현저히 달라 uniform continuous가 못 됩니다.

[겨울_(silhouet72)]

이 때 cos f가 감소라는건 g의 정의에서 바로 나옵니다. cos f=cos g거든요.

[겨울_(silhouet72)]

다만 정의역이 구간인 경우에는 명제가 성립하는데, 정의역이 (a, b)이라 해봅시다. 그러면 f의 정의역이 [0, pi] 안에 들어가는 어떤 구간이 됩니다. 이제 극한을 써서 f(a), f(b)가 존재하도록 f를 연속적으로 확장시킬 수 있는데, 이는 f가 증가하므로 가능합니다. 그러면 f가 compact한 구간에서 정의되므로 unif. conti.입니다.

[겨울_(silhouet72)]

이건 유계구간 얘기고, 무한구간인 경우 정의역을 적당히 잘라 unif. conti.임을 알 수 있습니다. 시간이 없어서..