실수 R에서의 open 개념을 임의의 set에도 주기 위한 것이고 이를 일반화한 것까진 알겠는데 굳이 왜 지금과 같은 정의가 등장한겁니까.
두루 쓰이고 가장 직관적인 standard topology보다 훨씬 약한 조건인데다가
countablity, separation axiom 같은걸 곁들여야 좀 의미가 생기는 걸 보면
학부생의 시점에선 좀더 강한 조건으로 정의를 해도 되지 않았나 싶은데...
이렇게 정의하지 않으면 위상의 범위에 포함할 수 없는 중요한 위상이 있다거나 한건가요?
munkres에도 지금과 같은 정의가 등장하기 이전에 open을 정의하려는 여러가지 시도가 있었다는 내용만 있지 정의에 대한 motivation은 크게 느껴지지가 않는데
굳이 지금과 같이 정의를 했어야할 불가피한 이유가 있을까요.
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추천좀
지금과 같은 아주 약한 조건만으로도 위상에 대한 기본적인 성질(예를 들어 연속함수가 compactness를 보존한다든지)은 다 성립하니까. 물론 실제로 관심의 대상이 되는 위상들은 어느 정도의 separation property를 가지는 경우가 많긴 함
어쨌든 nonmetrizable topological space들에도 관심을 두는 경우가 많고(대표적인 게 weak topology같은) 이런걸 체계적으로 다루려면 일반적인 위상 얘기가 필수겠지
Zariski: ㅎㅎ
Zariski도 T0 아님?
nonmetrizable topology같은 경우, topology의 정의가 완전히 정립되기 전에도 그 존재를 어렴품이 알고 있었다는 거임?
아니 그냥 실제 많은 관심이 되는 대상인데 Hausdorff조차 안 통하는 예시니까ㅋㅋㅋ
nobmetrizable topology란 단어 자체가 topology가 뭔지 포함하는 말이니 엄밀히 말해 그런 일이 있었을 거 같진 않은데.. 그래도 대략적인 감은 있었겠지. 예를 들어 weak topology를 논의하지 않아도 weak convergence같은 건 정의할 수 있잖아?
실제로 weak convergence(더 나아가서 weak topology)같은 것들이 abstract topology의 정의가 나올 즈음 또는 그 전부터 쓰였다고 하네
역사적으로도 Hausdorff가 위상을 정의할 때는 Hausdorff 조건도 정의에 포함됐지. 하지만 오히려 그토록 추상적인 정의였기에, 이곳저곳 여러 곳에 적용될 수 있었던 것.
그러면 그런 기본적인 성질도 만족하지 않으면서 유의미한 결과를 만들어내거나 수학의 많은 분야에서 두루 쓰이는 topology가 있나요?
별로 기본적인 것 같지도 않긴 한데, 뭐 어쨌든 Zariski topology. 대수기하 공부 시작하면 맨 처음 만나는 녀석임. 특이한 경우가 아니라면 T2 만족하지 않음. weak/weak* topology. 함수해석 공부하면 만나는 녀석. 무한차원 바나흐 공간의 경우엔 Not first countable.
결국 해석학의 입장에서 바라봤을 때 inverse image에 대한 조건으로 continuous/measurable 등의 정의를 내리는 게 편해서... 라고 겁나 naive하게 생각하고 있긴 함
멍커스였나 하우스도르프까지 위상정의에 포함시키는경우도 있다고하긴하던데
그건 위상수학 생기던 시절 이야기.
헉
연속함수를 정의하는데 (연속/불연속을 정의하는데)그 이상은 군더더기이기 때문
자리스키 위상은 하우스도르프 아님