공부하다가 법선의 직관적 의미에 대해 궁금해져서 인터넷에 다양한 자료를 검색해본결과
3차원 곡선 위의 한 점에서의 법선벡터(normal vector)는 그 점에서 접촉원(osculate circle)의 중심방향으로 가는 벡터라는 것을 이해했습니다.
흔히 프레네장 T N B를 말할때 N가 단위법선벡터라고 불리고 결국 법선벡터를 크기 1로 만든것이라는 것도요....
그런데 T'을 곡률벡터라고 부른다는데, 궁금한 점은 이것입니다. 결국 그 점에서의 단위접선벡터에 불과했던 T을 미분한 T'이 어떻게 저 법선과 방향이 같아지는가?
이것에 대한 자세한 설명이 제 책에는 안나와있더군요...
이러한 증명은 써있습니다. T · T = 1을 미분하면 2 T' · T = 0 이므로 T'은 항상 T와 직교한다.
이건 당연히 이해됩니다. 문제는 T'이 T와 직교한다고해서 저 법선벡터와 같아지는지, 즉 접촉원의 중심방향으로 향하는지 보장할 수 없다는 것입니다.
접선벡터 T와 직교하는 벡터는 하나가아니라 무수히 많으니까요....
[수정]
혼자서 생각하다가 (단위속력곡선에서) dT/dt = dT/ds 라서 T'이 곡률벡터가 되는것은 알아냈습니다.
그러면 곡률벡터라고 불리는 dT/ds가 왜 접촉원의 중심방향으로 가는 벡터인지 알려주시면 감사하겠습니다.....
tnb frame으로 곡선을 테일러 전개한 식 참고. - dc App
3차근사 이상 날리면 t, n으로 생성된 평면 위에 놓임 - dc App
테일러 전개요...? 여기서 이 개념이 나올줄은 몰랐네요... 아무튼 정보 감사합니다
곡선 위의 한 점을 중심으로 아주 작은 경로가 포함된 평면을 생각했을 때, T가 그 평면 안에 포함되었다고 생각하면 T'도 그 평면에 포함될 수밖에 없겠죠
결국 미분이란게 1차항까지만 근사해서 생각하겠단거니까 선형적인 방법으로 접근하면 대충 감은 잡을 수 있을지도?
말씀하신 내용은 본문에 서술했듯이 T와 수직인 벡터는 여러개라서 T'이 그 평면에 포함될지 확신이 안섭니다.... 근사얘기하신거면 위에분이 말하신것처럼 테일러전개를 말하시는건가요
T와 수직인 벡터는 여러 개지만, 한 평면을 고정했을 때 그 안에 포함된 T와 수직인 벡터는 2개고, 방향을 오른손법칙으로 고정하면 유일해짐. 첫 댓글에서 곡선의 아주 작은 부분이 한 평면에 포함되어있다고 가정하겠다는 말이 이것을 위한 것.
당연히 일반적인 곡선이 평면에 포함될 리가 없겠지만, 윗 분 말처럼 테일러 근사를 사용하면 이 근사가 말이 되게 만들 수 있음.
우선 t,n,b 기저는 왜 사용하는지는 알지? 항공기 조종사가 네비게이션을 듣는데, 영국 천문대로 부터 동쪽으로 얼마만큼 북쪽으로 얼마만큼 방향으로 진행해라는 말보다, 너의 기준에서 직진하다가 오른쪽으로 방향을 이동하면서 가라. 라고 하는 것이 비행경로를 이해하는데, 더 편하니까. 정칙곡선 알파 위의 점P에 대해서도 이런 새로운 기저를 세팅해주고 싶어서
도입된 기저가 t,n,b야. 다행히 알파가 3차원의 정칙곡선(미분가능)하다는 것 만으로 유도할 수 있어. A(알파대신 이하)에 대해서 A',(A'×A'')이 두 벡터는 항상 수직이니까. 이를 크기로 나누어주고, 또 한 번 외적하면 새로운 직교 기저를 만들 수 있지
그런데 이건 역사적으로 처음부터 앞,접원중심,위쪽방향을 수학자들이 기저로 약속해놓고, 나중에 벡터외적과 벡터미분을 이용하니까, 접원중심이 N방향이 된거임
책에는 분량상 생략 되었겠지만, 역사적으로 곡선의 곡률은 접원의 반지름 길이의 역수로 먼저 도입되었어. 공간상의 일치하지 않는 3점은 1원을 특정할 수 있으니까.3벡터 A(P-h),A(P),A(P+h)를 이용하면 원을 특정할 수 있으니까. 그리고 원은 접선과 수직이니까. 접선방향,접원중심방향 을 새로운 기준방향이라 생각해 볼 수 있겠지.
T,N,B들과 카파(곡률),타우(열률) 이 연관되어 있다는 것이 발혀진 것은 그 이후의 일임(책에 따라서 1차곡률, 2차곡률 이라고 부르기도 함)
저도 고민했었는데 이거 등속원운동에서 가속도 유도하는거 생각해보세요 - dc App
결국 혼자서 알아냈는데 이거 관련해서 정리도 따로있더라고요... 그에따르면 곡선의 접촉원 중심으로가는 벡터가 N벡터랑 평행해진다고합니다.
오 혹시 그 정리 이름이 뭔가요? - dc App
정리에 이름은 안써있네요... 궁금하다고하시면 책내용을 일부 가져오겠습니다.