f와 g가 R에서 정의된 연속함수이고, f circ g = id_R인 경우 f가 g의 inverse인가? (즉, g circ f = id_R인가)
우선 이건 참이고, 증명은 g가 injective & continuous이므로 strictly monotone인 것을 보인 다음에 g가 surjective가 아닌 경우 g(x)의 한쪽 극한이 bounded라는 뜻이므로 f circ g = id라는 가정에 모순된다는 방법으로 증명이 가능하긴함
그런데 위상을 잘 쓰면 증명 한줄컷으로 정리될거 같은데 좋은 방법 뭐가 있을까
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개허접명제라 그런가 잘 안나옴
R을 cpt Hausdorff space 아무거나로 바꾸면 반례 나오는 거 보면 그리 쉽게 나올 수 있을지는?
connected Hausdorff에서도 반례 있음? Intermediate function theorem 잘 쓰면 될거 같아서 그럼
* Intermediate value theorem
내가 생각한 반례는 path-conn. 2nd-c'ble cpt Hausdorff space 였음. 구체적으로는 closed unit square
R에서만 우연히 되는거였나 조금만 더 생각해보고 안되면 말아야겠다. 도와줘서 ㄱㅅㄱㅅ
Order topology가 주어진 connected linear order에서 성립할 듯. (네가 증명한 방식 그대로)
결국 monotone 거쳐야하나 생각보다 간단하게는 안 나오네
근데 뭐 공부함? 위상수학개론 1은 2학기에는 안 열리는데
미방 증명에 튀어나오길래 피해갈 방법 없나 생각하는 중임