[일반] dual의 의미가 안 와닿음

[익명(147.47)]

프리드버그 보는데 책에 적힌 내용 읽으면서 증명 따라가는 건 할 수 있는데 이게 도대체 뭔 의미를 가진 건지 잘 모르겠음
왜 쌍대라고 이름 붙인거임? 이 개념을 어디서 활용할 수 있음? 선대2에서 dual space 가르치던데 이거 들으면 이해할 수 있나?

[익명(110.76)]

행렬의 transpose가 linear map 입장에서 뭔지 생각해보셈

[카카오(129.79)]

dual이 왜 좋은지 아려면 tensor product를 알아야 되는데,, 프리드버그에서 dual을 배우는 의미는 0. 윗댓글처럼 transpose가 뭔지 알려주고 1. V의 basis가 V*에 dual basis를 만들고, 2. V랑 V**랑 naturally isomorphic하다는데 있어요 (basis를 고르는데에 상관없이). 일단은 L(V,W)의 특별한 예시다 정도로만 생각해도 큰 무리 없을거에요.

[카카오(129.79)]

아참 V가 finite dim이라는 조건이 매우매우 중요해요, infinite dimension만 되도 V랑 V*이랑 isom하지 않아져요.

[익명(49.143)]

수학에서 쌍대 즉 dual 라는 말은 구조를 뒤짚어서 구성한것을 의미함. 첫댓 말대로 transpose 를 linear map 입장에서 생각해보면 왜 dual 인지 이해가 공감이 갈것이고. 두번째 댓 말대로 V 와 V** 가 naturally isomorphic 하다는것도 뒤짚은걸 한번더 뒤짚으면 원상복귀 라는 철학에도 부합하다는걸 알 수 있지. - dc App

[익명(118.235)]

Transpose 는 (v,Aw)=v^t A w = (A^t v)^t w = (A^t v, w) 이렇게 되서 그러는거? 그러니까 dual이라는건 space의 pair을 생각했을 때 어떤 space V에서 모든 operator A에 대응하는 space V*에 Operator B가 존재한다고 생각하면 되는거임?

[익명(49.143)]

그 벡터 공간 V 에서 W 로 가는 linear transformation 을 T 라고 할때 이것으로 자연스럽게 W* 에서 V* 로 가는 linear transformation 을 생각 할 수 있는데 T^t:W*\rightarrow V*를 T^t(f)=fT , f \in W* 라고 정의하면 T^t 가 linear transformation 이라는 사실은 쉽게 보일 것이고 이를 T의 transpose 라고 부름 이 관점에서 생각해보셈 - dc App

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[카카오(129.79)]

대학원생 기준으로는, natural isomorphism의 가장 첫번째 예시가 되요, 물론 그다음 예시로는 adjoint functor같은게 있을 수 있고,, 그거 말고 dual이 그 자체로 중요한 이유는 linear map의 trace를 자연스럽게 카테고리로 확장할때 Dual object에 대해서 할 수 있고 이게 또 하나의 invariant를 주기도 하고,, 선대 말고도 다른 데서도 trace를 쓰고 이게 매우 유용한 결과를 줘요,