[대학교이상] uniform continuity 문제

[익명(163.239)]

f:R^n -> R^m 연속

||f(x)||->0 as  ||x|| -> 0

이면 f는 균등연속이다

학부 해석학 수준에서 설명해주실분..

[익명(163.239)]

수정) ||x||->inf 입니다

[익명(39.7)]

f가 선형이라던가 그런거 없음?

[익명(39.7)]

아 필요없구나

[익명(147.46)]

편의상 n=m=1로 잡음. uniform continuity란 임의의 eps=epsilon에 대해 |x-y| < delta => |f(x)-f(y)| < eps가 되게 하는 delta를 찾을 수 있음을 의미함. 이제 고정된 eps에 의해 f(x) -> 0 조건으로부터 충분히 큰 L > 0이 존재하여 |x| > L => |f(x) < eps가 나옴. 이제 다 끝났음. [-L,L]에서 f는 uniformly continuous니까 위에서 말한 delta를 찾을 수 있음. 이제 임의의 x, y에 대해 |x-y| < delta => |f(x)-f(y)| < 2eps가 나옴. x,y가 모두 [-L,L]에 들어가는 경우는 delta의 정의에 의해 |f(x)-f(y)| < eps이고, 나머지는 알아서하셈