Counterexample 만드는 중에 이게 필요하네
원하는 조건은
1) R3에서 Laplacian zero
2) Radial function이 아님. 즉, C1 + C2*r + C3*log(r)이 아닌 함수
3) Azimuthal symmetry임. 즉, spherical coordinate에서 phi에 의존하지 않음
4) Everywhere well-defined. spherical coordinate로 나타냈을 때 r=0에서도 잘 정의되어야함
f(r, θ, phi) = f(r, θ)로 나타내면 Laplacian f는
f_rr + 2f_r/r + f_θθ/r + cotθ f_θ/r^2 = 0이 나옴
Classification 완전히 된다면 더할나위 없이 좋지만 그건 바라지도 않고 저런 예시 하나만 있어도 충분함
검색해봐도 2)만 잔쯕 나오고 원하는게 안 나옴
원하는 조건은
1) R3에서 Laplacian zero
2) Radial function이 아님. 즉, C1 + C2*r + C3*log(r)이 아닌 함수
3) Azimuthal symmetry임. 즉, spherical coordinate에서 phi에 의존하지 않음
4) Everywhere well-defined. spherical coordinate로 나타냈을 때 r=0에서도 잘 정의되어야함
f(r, θ, phi) = f(r, θ)로 나타내면 Laplacian f는
f_rr + 2f_r/r + f_θθ/r + cotθ f_θ/r^2 = 0이 나옴
Classification 완전히 된다면 더할나위 없이 좋지만 그건 바라지도 않고 저런 예시 하나만 있어도 충분함
검색해봐도 2)만 잔쯕 나오고 원하는게 안 나옴
r, theta 고정하고 phi만 돌리면 무조건 반지름 r짜리 구의 북극과 남극을 지나는 원이 나오는데 이 원 위에서 f가 상수라서 사실은 radial function이 될 수밖에 없지 않나
아 너 말이 완전히 맞네. 반례찾기 태초마을부터 시작이다