WTS. If P is prime ideal of R then P[x] is prime ideal of R[x]
Let f(x), g(x) ∈ R[x]
f(x) = a0 + a1x + ... + anx^n
g(x) = b0 + b1x + ... + bnx^n
Let f(x)g(x) ∈ P[x], f(x) be not contained in P[x]
f(x)g(x) = a0b0 + (a0b1+a1b0)x + ... + (anbn)x^n
a0b0 ∈ P but a0 is not in P then b0 is in P
여기서 다음이 문제입니다 (a0b1 + a1b0) ∈ P but a0, a1 are not in P .............
여기서 b0, b1 ∈ P 라는 내용을 이끌어낼수있나요?
어떻게 증명하나요 이거 ?
그렇게 하면 안되죠
차라리 (R/P)는 Integral domain이다 => (R/P)[x] 는 ID다, (R/P)[x]와 R[x]/P[x]는 isomorphic이다 => R[x]/P[x]는 ID이다 => 따라서 P[x]는 prime ideal이다 이렇게 하고 넘길까요?
그건 ok임
f(x)랑 g(x)가 둘다 P[x]의 원소가 아니라면 각각의 다항식에서 계수가 P의 원소가 아닌 최소차항 a(i)x^i와 b(j)x^j가 존재하는데, f(x)g(x)의 x^(i+j) 항 계수를 들여다보면 이상한 점을 찾을 수 있음
x^(i+j)의 계수가 aibj로 유일하면 aibj는 P에 들어가지 않으므로 증명끝이지만 x^(i+j)계수가 aibj 뿐만아니라 (...+a(i+1)b(j-1)+a(i)b(j)+a(i-1)b(j+1)+...)x^(i+j) 면요?
네가 써놓은 것들 중에 P의 원소인게 뭔지 잘 생각해보렴
a(i)b(j) 제외한 나머지 애들이 P에 들어가는 건 알겠어요 그리고 P는 abelian group이므로 저 P에 들어가는 나머지 애들을 소거해서 a(i)b(j)만을 남길 수 있겠네요. 여기서 모순이 생기고요 감ㅅ마당
결국 Eisenstein criterion 증명하는 거랑 같은 논리니까 이런 식의 argument에 익숙하지 않으면 그 정리 증명을 복습하면 됨
찾아볼게요
영어 문장 쓸 때 관사 쓰는 거 신경을 써보자 연습하면 늘어 ㅇㅇ