[대학교이상] 미적 그레디언트 벡터 질문좀

[ㅇ?(182.228)]

그레디언트 벡터가 왜 접평면의 법선벡터임?

그레디언트 벡터 정의가 2변수면 ,  x축방향도함수 i + y축방향도함수 j 잖아.

방향 도함수에서 나온 그레디언트와

접평면의 법선벡터로서 그레디언트가 연결이안되는데?

그림으로 이해가 안됨.

[d따봉b(39.112)]

3차원에서는 뭐일지 생각해보셈

[dd(39.112)]

곡면의 방정식을 F( x(t), y(t), z(t))= k 일때 양변을 t로 미분하면 좌변은 grad F * 벡터 r'(t)=0 인데, 이때 r'(t)가 접평면의 방적식이니까 둘이 내적했을때 0이 나온다는건 서로 수직하므로 그레디언트는 곡면과 수직이다

[ㅇ?(182.228)]

그러니까 수식 전개는 이해가 가는데 , 그거랑 앞에서 배운 방향 도함수에서의 그레디언트랑 연결이안됨

[dd(39.112)]

라고 스튜어트에 나와있음

[익명(58.127)]

평면 ax+by+cz=d도 그래디언트는 (a,b,c)인데 이게 법선벡터이기도 하잖아 그래서 그런거지

[익명(222.107)]

방향도함수 얘기할땐 f: R^n -> R 의 방향도함수를 얘기한거고 접평면얘기할때는 {x : f(x) = f(a)} 인 R^n 에 embedding 되어있는 n-1차원의 접평면을 얘기하는거임 서로 대상이 달라요

[익명(49.143)]

R^n 에서 R 로 가는 smooth mapping f 가 주어졌을때 점 y가 f 의 rugular value 이고 y=f(P) 라고 합시다. 그러면 f^(-1)(y) 가 n-1 차원 smooth manifold 에요. 이제 p:U->V 를 f^(-1)(y)에 대한 P의 한 근방의 parametrization 이라고 할게요. (p(0)=P) 그러면 점 P 에서 f^(-1)(y) 의 접평면은 dp_0(R^(n-1)) 이에요. 근데 f•p = y 이므로 Chain rule 에 의해서 d_Pf•d_0p =0 이에요. 이를 다시 써보면 모든 u in R^(n-1) 에 대하여 <gradf(P), d_0p(u)>=0 입니다. 즉, 이는 gradf(P)가 점 P 에서 f^(-1)(y) 의 접평면에 수직인 벡터입니다. - dc App

[익명(49.143)]

일단 접평면이 무었인지에 대해 먼저 논의를 해야하는데 아마 대부분 미적분학 책에서는 직관적인 의미로만 사용할거에요 사실 위에 쓴거의 본질은 음함수 정리 이고 음함수 정리는 역함수 정리를 받아들이면 미적분학 수준에서 증명이 가능하기에 미적분학에서 설명 못할 건 아니지만… 그래도 님의 질문을 명료하게 설명하려면 더 많은 작업이 필요 하기에.. 미적분학에서는 얼랑뚱땅 직관만 설명하고 넘기는게 좀 많죠. 문제는 직관적으로 와닿느냐 안 와닿느냐인데… 교재 설명 계속 읽으시면서 이해만 대충(?..) 하시고 넘기시길… - dc App