[일반] 일반적인 위상체에서의 미분은 잘 안 다루는 이유가 뭘까?

[익명(223.38)]

위상체 F 에서 {0} 이 closed 이고 not open 이면 그냥 R에서의 미분 정의 그대로 가져올 수 있음. 근데 미분은 거의 무조건 R나 C에서만 다룸. 왜일까?

[ㅇㅅㅇ(50.223)]

R이나 C를 제외하고 미분이 잘 작동하는 좋은 위상체의 예시가 잘 없는 게 큰 거 같음. 가령 어떤 위상공간에서 해석학을 좀 제대로 하고 싶으면 (가령 그 위의 measure를 정의해서 적분까지 하고 싶다던가) locally compact정도의 조건은 필요한데, locally compact topological field는 모두 분류되어 있음. 근데 그런 field들 중에서 R이나 C를 제외하면, 다 p adic number 비스무리하게 생긴 애들임. 여기서도 너가 정의한 것처럼 미분을 정의할 수 있고 적당히 말이 되는 이론들을 전개할 수 있는데, 문제는 얘네들은 totally disconnected여서 미분가능한 함수들이 별로 좋은 성질을 가지지 않음. 그래서 안 쓰이냐고 하면 그건 아닌거같은데

[ㅇㅅㅇ(50.223)]

그렇다고 많이 쓰기에는 미묘함. 그 미묘함의 예시를 들자면 1. locally compact topological field K에 대해서 K-manifold를 정의할 수 있는데, compact K-manifold들은 다 분류되어 있고 걍 ball들의 finite disjoint union임 2. K 위에서 naive하게 복소해석학을 전개하려고 하면 복소해석적인 함수들의 성질이 되게 안 좋아서 복소해석의 중요한 정리들이 전혀 성립하지 않음. 이런 이유들 때문에 저런 naive한 이론들이 안 쓰이는건 아니어도, 성질이 그렇게 좋지 않아서, 다른 이론으로 대체되는 경우가 많은 것 같음. 가령 K위에서 복소해석을 하려고 할 때는 별로 직관적이지 않은 대수적인 개념들을 이용해서 좋은 공간을 만들어야 괜찮은 정리들을

[ㅇㅅㅇ(50.223)]

증명할 수 있음. 물론 p adic complex number같이 locally compact 아닌데도 해석학 하는 위상체 있는데? R이나 C처럼 미분 잘 작동하는 위상체 없다는거 확실하냐?고 물으면 님말맞. 근데 대충 모든 위상체가 R/C같지는 않다는 말을 하고싶었음. 대수기하와 정수론 그 사이의 어딘가를 하는 입장에서 R이나 C는 정말 행복한 공간이니 항상 감사하십시오.

[익명(223.38)]

오호

[hentaiMATH_Play(nsa15464)]

와 정리 개쩌네 댓글엔 왜 개추기능이 없지

[TQFT(lemonkx)]

위에서 너무 잘 설명해주셨다... 조금만 첨언을 하자면 위에서 locally compact 정도는 되어야 적분을 할 수 있다고 하셨는데, 혹시 이와 관련된 내용이 궁금하다면 Haar measure에 관한 내용을 찾아보면 좋음.

[익명(117.111)]

완비성없는 미적분이 어딨노 게이야

[익명(223.33)]

댓글이 아름다워서 ㅊㅊ함