[대학교이상] 푸리에 변환 질문 사진 다시 올림

[익명(39.127)]

위 식에서 아래 식으로 바꾸는 과정에서 대괄호 안의 함수의 적분이 "cos(wx-wv)가 w의 우함수이고, f는 w와 무관하고, 적분이 v에 대한 적분이므로, 이 식의 대괄호 내의 적분은 w의 우함수이다."라고 설명하는데 이게 도대체 무슨소린가요

오일러 공식으로 적분변수 바꿔서 유도하는 방법은 이해했습니다.

kreyszig 책이에용

[TQFT(lemonkx)]

g(w)=g(-w)가 성립한다면 g를 0부터 무한대까지 적분한 값은 -무한대에서 무한대까지 적분한 값의 1/2이 된다는 성질을 이용. 구체적으로 여기선 g(w)= \int_{-\infty}^\infty f(v)cos(wx-wv)dv.

[익명(39.127)]

우함수 성질은 아는데 왜 대괄호 안의 함수가 우함수가 되는지 모르겠어요

[TQFT(lemonkx)]

그냥 w에다가 -w를 집어넣어보셈. 적분 안의 식이 f(v) cos(wx-wv)인데 f(v)는 w가 없으니 변할게 없고 cos(wx-wv)가 cos(-wx+wv)로 바뀌는데 cos이 우함수니까 두 개가 같잖아

[익명(39.127)]

아 대괄호를 먼저 적분한다음 w에 대해서 다시 적분한다고 생각했는데 w에 대해서 먼저 적분해도 되서 그런건가요

[익명(39.127)]

그러면 이해되네요

[익명(39.127)]

근데 책에서 대괄호를 적분한걸 F(w)라고 다시 정의하고 F(w)가 우함수라고 하는게 이해가 안되네요

[TQFT(lemonkx)]

아님. 대괄호 안에 있는 걸 적분한다고 상수가 나오는게 아니잖음. w의 값에 따라서 저 적분의 값은 얼마든지 바뀔 수 있음. 단적으로 w=0을 넣으면 cos(wx-wv)는 항상 1이니까 아무런 영향 없이 f(v)만 적분을 할거고, w가 0이 아니라면 cos 항이 영향을 미치겠지.

[TQFT(lemonkx)]

대괄호 안에 있는 식은 x,w,v에 관한 식. 안쪽 적분은 그것을 v에 대해 정적분하니 x와 w에 관한 식. 바깥 쪽 적분은 그것을 w에 관해 정적분하니 x에 관한 식.

[익명(39.127)]

(39.127) 그 x와 w에 관한 함수가 어떻게 우함수가 되나요? 얘를 들어 f(v)=v라고 하고 부정적분하면 sin이랑 cos둘다 튀어나오잖아요

[TQFT(lemonkx)]

정적분이잖아

[TQFT(lemonkx)]

그리고 사실 부정적분이라도 f(v)=v가 기함수이기 때문에 sin cos이 나와도 기함수는 기함수끼리 곱해지고 우함수는 우함수끼리 곱해져서 우함수가 되게 되어 있음

[TQFT(lemonkx)]

이해가 안되면 맨 첫 댓글에 쓴 대로 g(x,w)에다가 g(x,-w)를 넣어서 확인해봐

[익명(61.99)]

아 f(v)cos(wx-wv)=f(v)cos(wv-wx)니까 F(w)=F(-w)가 된다는 소리네요 진짜 감사합니다

[익명(163.152)]

시발고맙다