[일반] indicator 의 continuity와 convexity 질문

[익명(223.33)]

set C에 대한 indicator function I_C(x)가

x가 C의 원소이면 0이고, x가 C의 원소가 아니면 +무한대를 주는 함수인데,

이 때 I_C(x)는 C가 convex set이면 convex 함수가 됨.

그런데 rudin 해석학 교재에서 모든 convex function이 continuous라고 했는데, I_C(x)는 continuous가 아닌 거 같음. 어떻게 이게 가능하죠?

I_C(x)의 range가 R이 아니라서 그런가

[익명(147.47)]

모든 convex function이 연속일 필요는 없음. (0, 1)에서 0이고 1에서 1인 함수만 봐도 알 수 있고, 루딘 책에 나온 정리는 open set에서 정의된 경우를 말하는 걸거임

[익명(223.33)]

아 그러네, 근데 I_C(x)는 domain자체는 전체 집합이라 open set이긴 함

[익명(147.47)]

그렇네 어쨌든 real valued가 아닌 함수에 적용해서 생긴 문제임

[ultraproduct(ultraproduct)]

무한대는 실수가 아니잖음ㅋㅋㅋ