[중고딩문제] 형들 '적분가능하다'랑 '원시함수가 존재한다'가 어떤 차이에요?

[익명(223.39)]

정적분은 구분구적법으로 정의되고, 이를 미적분학의 기본정리를 이용해서 원시함수의 차로 계산할 수 있다는 걸 배웠어요.

여기서 미적분학의 기본정리는 원시함수의 존재성을 보장해주지 않기 때문에 차이가 생기는 것 같은데 구체적으로 어떻게 이야기해야 될 지 잘 모르겠어요... 알려주시면 감사하겠습니다 ㅠㅠ

[익명(121.169)]

원시함수의 존재성이 적분가능성보다 더 강한 개념임 - dc App

[5둥리카일렝이(lillollool)]

두개가 그냥 포함관계가 없지않?나

[익명(121.169)]

음 다시보니 그렇네 내가 너무 대충 이해하고 넘어간듯 - dc App

[5둥리카일렝이(lillollool)]

진짜대충말하면 함수 그래프가 닫힌구간에서 위아래로 갇혀있고(무한히뻗어나가지않고), 직사각형들가지고 만드는 곡선아래넓이보다 큰 근사값이랑 작은 근사값의 차가 0으로 수렴할때 적분가능하다고함

[익명(58.127)]

원시함수가 있다는 건 말 그대로 원시함수가 있는거고, 적분 가능하다는 건 간단히 말하면 구분구적법으로 계산한 극한이 수렴하는 걸 말함. 둘 사이에는 포함관계가 없는데(최대정수함수는 적분가능하지만 원시함수가 없고, x^2sin(1/x^2)의 도함수는 적분가능하지 않음) 연속함수는 정적분=원시함수의 차이가 성립한다는 게 바로 미적분학의 기본정리임

[익명(121.169)]

적분가능하다는건 고닉이 위에서 뭔지 설명해줬고, 적분가능성이랑 원시함수의 존재성 자체는 사실 별 공통점이 없는 것 같음. F= x^2*sin(1/x^2) (x≠0), 0(x=0)이라고 하고 f = F' 이라하면 f는 원시함수 F는 존재하는데 적분이 되지는 않음(그래프 그려보면 바로 알 수 있을듯) 미적분학의 기본정리는 적분이 가능한 함수가 원시함수가 존재하면, 그때 정적분 값을 원시함수의 함숫값 차로 구할 수 있다는 내용임

[익명(223.39)]

원시함수 존재성은 어떻게 증명할 수 있나요..? 그리고 최대정수함수는 연속함수가 아니기 때문에 적분 구간에 불연속인 지점이 존재하면 적분 불가능하지 않나요? - dc App

[익명(121.169)]

원시함수의 존재성은 그냥 니가 찾으면 그게 존재성 증명한거임. 그리고 적분이 가능하다는건 연속이라는 것보다 조금 느슨한 개념이라, 연속함수가 아니여도 적분이 가능할 수 있음 특히 불연속인 지점이 가산무한개만큼있어도 적분 자체는 가능할 수 있음

[익명(223.39)]

고등학교에서 배우는 적분으로도 적분 계산 가능하다는 말씀이신가요?? - dc App

[5둥리카일렝이(lillollool)]

고등학교 과정에선 연속함수에 대하여, 라고 전제를 박고시작하기땜에 가우스함수 적분값같은걸 생각하는게 논의영역 밖의 문제이지만 해석학에서의 스탠다드한 정의에선 얼마든지 생각할수있음. 특히 어떤 연속함수와 적분구간내의 아주 작은 부분집합위의 점들에서만 함숫값이 다른 함수는 앞에언급한 연속함수와 적분값이 같다는 성질이 있음 (아주작은 부분집합<<<이건

[5둥리카일렝이(lillollool)]

엄밀하게 적은건아니고 고교수준에서 대충 이해하려먼 그렇게 생각하면 된다는거. 예를들면 유한집합이라던가)

[익명(211.248)]

통상적인 적분 연구중에 원시함수에 대한 논의가 발명되었으니, 미분가능ㄷ연속 처럼 포함관계라고 생각하면 안됨. 어떤 상위계층의 아래층 케이스가 아니고 아예 새로운 논의라서 ㅇㅇ