우리가 중학교 때 배우는 평면에 대한 (유클리드) 기하학은 사실 아주 특수한 경우이고,
기하학을 평면에서 해야 할 필요는 없다고 배웠습니다.
대학에서 선형대수학을 배우면서 유클리드의 기하학을 대수적으로 나타내고 중학교 때와 다른 방식으로 이해(사실, 기하학을 통해 선형대수를 이해한건지 선형대수를 통해 기하를 이해한건지는 모르겠습니다.)했지만, 구면과 쌍곡면에 대한 기하학은 배운 것이 없습니다.
미분기하라는 과목을 앞부분만 조금 공부해보긴 했지만 기하학 그 자체에 대해 배운다는 느낌은 아니었습니다.
반면, 대수학은 아주 분명한 과목으로 느껴집니다. 대수를 공부하고 싶으면 현대대수를 공부하면 되고 다 보면 대학원 대수학을 공부하면 되는 것 처럼요.
왜 기하학만큼은 '기하학'이라는 과목이 없는건가요? 왜 유독 기하학에 관련된 대상만큼은 선형대수학이라던가, 미분기하학과 같이 어떤 수식어가 붙어서,
다른 도구(미분, 대수 등)를 이용해 기하적 대상을 탐구하는건가요?
기하학을 공부하려면 무엇을 공부해야하는지 궁금합니다.
일단 기하학적인 대상이 뭔지 정의하는것부터 다른 도구들이 필요해서 그런게 아닌가 싶은데
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이러면 산술이 조합, 대수로 나누어진다 보는건가
수학적 대상은 모든게 집합으로 이루어져 있음 그리고 이 집합에다가 할 수 있는게 그리 많지 않은데 기껏 해봐야 연산주는거랑 위상주는거 말고 딱히 없음. 그래서 필연적으로 위상, 대수 적으로 기하학적 대상을 정의 할 수 밖에 없고 이로 인해서 위상, 대수 등을 이용해서 기하학적 대상을 탐구 할 수 밖에 없는거지.
사실. 기하라는 말 자체가 굉장히 모호한 말임. 그래서 주류 수학자들이 무엇을 기하라고 부르는지 우리가 동의를 해야하는 입장이기에 너무 그런거에 크게 고민 하지 말고 공부 열심히 하셈
기하라는 과목은 태어난 날만 대수의 쌍둥이임 현대에 와선 기하는 그냥 집합의 일종을 다루는 대수분야임 - dc App
대수기하, 미분기하를 주로 기하한다고 하죠 ㅋㅋ 그런데 저런 다양체를 다룸에 있어서 "접공간"이 중요한 역할을 하고, 접공간은 선형공간이니까 선형대수도 중요한 거구요.
"기하학을 평면에서 해야 할 필요는 없다고 배웠습니다." 그래서 휘어진 곡면에서 하는 기하가 미분기하이고, 학부 미기는 보통 곡면이 휘어졌다는걸 이해하는데서 마치지만, 나아가서 공간이 휘어졌다는게 무엇인지 공부하는게 리만기하에요.
칸토어가 ‘무한’을 인간의 인식의 대상으로, 수학적 대상으로 가져오기 위해 집합론을 창시하면서, 많은 수학적 대상들이 재정의 되었죠. 가령 원 이라는 대상은 2천년 그 이전부터 사용했던 대상이었고 2천년전 고대 그리스에서는 (크기가 다양한) 컴퍼스를 이용하여 그릴 수 있는 대상에서 ‘한 점으로 부터 같은 거리에 있는 점들의 집합’으로 바뀌었습니다.
집합론 이후로, 수학에서 다루는 대상은 거의다 집합이라고 생각해도 무방할 정도입니다. 기하학은 전통적으로 점,선,면,입체와 같은 ‘도형’을 다루는 학문입니다. 그런데 이 도형을 재정의 하지 않았습니다. 아니 할 필요가 없었죠. 이미 상위호환 집합이 있으니까요. 가령 평면 위의 직선은 {(x,y) in R^2ㅣax+by+c=0and a,b,c inR}등으로요
전통적으로 기하학은 ‘유클리드 기하학’만을 의미하였으나, 세월이 흐르면서 비유클리드 기하학이 나왔고, 비유클리드 기하학을 연구했던 수학자 클라인 시대 전후로, 기하학은 ‘도형을 연구하는 학문’에서 ‘불변성’을 다루는 학문으로 바뀌어 갔습니다. 가령 평면위에서 도형의 평행,대칭이동, 회전 등은 도형의 합동으로 다루던 것을
집합E^2(이하R^2)의 부분집합A의 합동변환(회전, 대칭,평행이동)을 다루는 학문으로 그리고 이는 거리동형 함수 f:R^2->R^2의 연구로 말이죠. 예전의 기하학은 ‘유클리드 기하학’ 이라는 이름으로 2천년 가량 살았다면, 지금의 기하학은 유클리드 기하학의 후손으로 그 이름이 조금 달라지고, 연구 방법이 달라졌을 뿐, 기하학이 없어진 건 아닙니다.
방정식의 해를 구하는 방법을 연구했던 대수학이 지금은 온갖 화살표로 도배되고, 그래서 방정식의 해는? 이라고 생각하는 것 처럼, 기하학도 세월이 바뀌면서 달라진거죠