현재까지 이해한 바로는
1. 이제까지 배운 연속은 점 p에서의 성질인데에 비해 균등연속은 domain 전체에서의 함수의 성질이다.
2. 함수의 점 p에서의 연속성을 보이는 문제는 결국 주어진 epsilon에 대해서 적절한 delta를 찾는 문제인데 이 때의 delta는 점 p, epsilon에 의존하는 함수인데에 비해
함수의 균등연속을 보이는 것은 특정 점 p에 의존하지 않는 일반적인 delta를 찾아야 하니까 더 풀기 어렵다.
이렇게 문제를 푸는 관점이나 수식에서의 차이는 어느 정도 이해한 것 같은데, 전 구간에서 연속이지만 균등연속이 아닌 함수의 예시를 봐도 균등연속이 어떤 의미인지 잘 와닿지가 않네요. 함수를 보고 균등연속임을 보이게 시키거나하면 할 수 있을거 같은데, 오히려 함수의 형태만 보고서 균등연속인지 아닌지를 어떻게 판별할 수 있는지는 감이 안 오네요. 혹시 이해 좀 도와주실 수 있나요?
설명이 어려우면 혹시 이 개념이 중요하게 쓰이는 사례가 있는지 알려주실 수 있나요?
대표적으로 1/x같이 발산하는 형태는 균등연속이 아님. delta를 아무리 작게 잡아도 값의 차이가 epsilon을 넘어가는 경우가 있기 때문. 언제 중요하게 쓰이냐면, 함수 domain 전체를 아우르는 특징을 증명할 때 조건으로서 자주 등장함.
함수열 같은 곳에서 꽤 등장함
감사합니다. 일단 말씀해주신거 염두해두고 더 공부해볼게요. 다행히 함수열 정도면 엄청 뒷 내용은 아닌듯해서
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오오 감사합니다
X에서 균등연속이면 closure of X로 연속적으로 확장가능
closure에 대해서도 함숫값을 정의해서 기존 함수를 확장시킬 수 있고, 이렇게 확장된 함수가 연속함수라는 뜻인가요?
네
compact domain에서 연속이면 균등연속이라는 정리가 있어요. TMI: 역사적으로 수학자들은 균등연속을 먼저 생각해냈다고 해요. 개인적으로 해석을 공부할때, 국소적인 성질과 대역적인 성질을 구분하면서 공부하면 좋다 생각하는데, 연속은 국소적인 성질이고 균등연속은 대역적인 성질이에요. 그래서 더 보이기 어렵지만, 성질이 좋다고 어렴풋이 생각하고있어요.
미분값이 유한하면 균등연속이 됬던거 같은데,, 좀더 중요한건 아마 lipschitz condition일거에요. 기울기가 무한하지만 균등연속인 함수도 존재해요, 대표적으로 루트x
연속이면 수렴하는 수열을 보존-> 평등연속이면 코시수열을 보존