[일반] 미적분 질문이요!

[임고생(121.142)]

첨엔 양쪽으로 가둬놓고 조임정리 해볼려고 했는데 잘 안되더라구요

그래서 로그 취해서 구분구적법으로 바꿔 볼라고 했는데 저기서 막히네요

다른 방법으로 해야하는 건가요??

[Hypergraph(starlink)]

루트 e 맛냐

[익명(125.138)]

임의의 0<t<1에 대해서, x가 아주 작아지면 exp(tx) <= 1+x를 만족함. 그리고 항상 1+x <= exp(x)를 만족함.

[익명(125.138)]

따라서 임의의 0<t<1에 대해서, n이 아주 커지면 임의의 1<=i<=n에 대해서 exp(t * i/n^2) <= 1+i/n^2를 만족함. 따라서 exp(t * (1+...+n)/n^2) <= (1+1/n^2)...(1+n/n^2) <= exp((1+...+n)/n^2)를 만족함. 한편 좌변과 우변은 각각 exp(t/2)와 exp(1/2)로 수렴하므로 (1+1/n^2)...(1+n/n^2) 의 liminf는 임의의 0<t<1에 대해서 exp(t/2) 이상이고 limsup는 exp(1/2) 이하이므로, t를 1로 보내면 원하는 식이 exp(1/2)로 수렴함을 알게 됨.

[익명(125.138)]

1+x <= exp(x)는 해석학에서 상당히 자주 쓰이는 estimation인데, 곱을 합으로 바꿔주기 때문에 굉장히 유용함. 단적인 예로 산술기하평균 부등식을 이걸 이용해서 아주 쉽게 증명할수 있는데, a_1,..,a_n >= 0이고 (a_1+...+a_n)/n >= (a_1...a_n)^{1/n}를 보여야하는데 편의상 모든 a_i에 n/(a_1+...+a_n)을 곱해서 a_1+...+a_n=n이라고 항상 가정할수 있음. 이제 b_i = a_i - 1로 두면 exp(b_i) >= 1+b_i >= a_i이므로, 모든 i에 대해서 양변을 곱하면 1=exp(a_1+..+a_n-n)=exp(b_1+...+b_n) >= (1+b_1)...(1+b_n) >= a_1...a_n을 얻음.

[익명(125.138)]

따라서 (a_1...a_n)^{1/n} <= 1 = (a_1+...+a_n)/n을 얻으므로 산술기하평균 부등식 증명이 끝남. 이런방식으로 다양한 응용을 할수 있겠지..

[익명(125.138)]

똑같은 아이디어로 가중치가 붙은 산술기하 부등식 또한 증명할수 있음 : a_i,w_i >= 0이고 w=w_1+...+w_n > 0일때, (w_1a_1+...+w_na_n)/w >= (a_1^w_1 * ... * a_n^w_n)^{1/w} 위의 증명으로부터 어떻게 변형해야하는지는 자명하다시피하니 생략.

[임고생(121.142)]

와.......감사합니다!!