셀수없는 무한합을 시그마기호로 정의가능해요?
[일반] 셀수없는 무한합
Dd(223.62)
2019-04-11 22:47
추천 1
댓글 15
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ㅇㅇ 인덱스 붙여서 uncountable union처럼 표기하면댐
물론 그 sum이 잘 정의되어잇어야하겟지만
정의를 하긴 하는데 어차피 그 값이 유한값으로 잘 정의되려면 결국은 countable한 원소들 빼고는 다 0이어야 됨
아 진짜? 어케 증명함
우선 저 sum을 어떻게 정의해야 할지 생각해야 하는데, uncountable이라 수열 더할 때 처럼 x(1)+x(2)+...같이 생각하면 다 못 더해요. 그럼 정의를 다르게 해야 하는데, 그냥 더하고 싶은 것들을 모두 모은 집합 X를 생각해서 이 집합 위에서의 합을 정의하면 됩니다. 가장 간단한 방법은 counting measure에 의한 적분으로 이해하는 겁니다. 조금 더 풀어쓰면, 1. X의 원소들 중 양수인 것들을 모두 더한 값을 A라 하고, 2. 음수인 것들을 모두 더한 값을 B라 하고, 3. X의 합을 A+B로 이해하면 됩니다. 그러면, 결국 uncountable한 nonnegative elements의 합만 잘 정의하면 됨을 알 수 있습니다.
그러면 X의 원소들이 모두 nonnegative일 때 어떻게 정의해야 하느냐.. 이렇게 하면 됩니다. X의 countable subset을 생각해서 이 위에서의 합을 생각합니다. 물론 각 항이 nonnegative이니 급수의 값이 더하는 순서에 불변이니 잘 정의됩니다. 이제 그러한 합들을 모두 모아서 sup을 취한 것을 X 위에서의 합이라고 정의하면 됩니다. 이제 X 위에서의 합이 유한값이라고 하고, X의 원소들은 사실 countable개를 빼면 모두 0임을 보여봅시다. 각 n에 대해 1/n 이상인 것들을 모두 모은 집합을 X(n)이라고 합시다. 그러면 물론, X(n)은 기껏해야 유한집합입니다. 따라서 X(n)들을 모두 union한 게 countable이 되는데, 이 집합은 정확하게 X의 원소들 중
0이 아닌 것들을 모두 모은 집합이 됩니다. 즉, X의 원소들이 모두 nonnegative인 경우, X의 sum이 유한값으로 정의되려면 결국 all but countable elements in X가 0이어야 한다는 것을 알 수 있습니다. 이제 첫 댓글에서 A에 이 논리를 쓰고, 마찬가지로 B에 이 논리를 쓰면 A나 B나 결국 countable한 원소들 빼고는 죄다 0밖에 없게 되어서, 결국 X의 합이 잘 정의되려면 X의 원소들은 countable한 원소들 빼고 죄다 0이 됩니다.
근데 쓰다보니까 말이 좀 꼬였는데.. X의 원소들이 countable한 거 빼고 죄다 0이면 X 자체가 그냥 countable이 되니까 좀 이상하고, 정확히는 sum_{x in X} f(x) 꼴의 합을 정의했다고 보는게 좋을 것 같습니다.
원소들이 nonnegative인 경우 유한합의 supremum으로 생각하는게 제일 깔끔할 것 같아여 ㅇㅇ - dc App
음 "countable subset의 합을 모두 모아서 sup을 취한 것을 X 위에서의 합이라고 정의"한다는게 일반적인가요? 말씀대로 정의를 uncountable set로 확장해봐도 어차피 countable set에 대해서만 유한값으로 정의된다는거라 확장이라 보긴 좀 어색하긴 하네요 ㅋㅋ 암튼 잘 읽었습니다~ 감사합니다~~
가장 일반적인 설명은 counting measure에 의한 적분으로 보는거지요. 그걸 풀어서 설명한 거고요.
아항 감사합니다.
directed set과 net으로 치면 나올껄?
Folland 실해석책앞부분에 이거관련된 내용 있었던거로기억함
folland 챕터 0에 나오던데 함 보셈