어떤 nonneagtive measurable 한 함수가있다
그러면 증가하는 simple 함수가존재하여 그것을 적분한거에
Sup취하는게 적분의 정의입니다
만약 적분하는공간이 countable 하다면 nonnegative 함수와
Single집합의 측도의 곱의 countable한 합이 되는가요?
그러면 증가하는 simple 함수가존재하여 그것을 적분한거에
Sup취하는게 적분의 정의입니다
만약 적분하는공간이 countable 하다면 nonnegative 함수와
Single집합의 측도의 곱의 countable한 합이 되는가요?
그 경우에는 counting measure를 주면 되니까요
Counting measure 이아닙니다
아 그렇네요 메져가 다를 수도 있겠군요 그냥 가산 공간 주어지고 그 위에서 가산합에 대해서 얘기하는 줄
직관적으로보면 그럴것같은데 simple함수란게 경우의수가 많은데 sup취한것이 저렇게될거라는 엄밀한증명이없네요
simple function과 적분의 정의로부터 자명함.
그냥 적분의 정의로부터 적분하는 공간이 countable하고 함수가 nonnegative라면, 적분하는 공간의 임의의 유한부분집합에 대해서, 그 부분집합의 각 원소에서 함수값*그 원소의 measure의 합들의 supremum이 적분값이 되겠지.
직관적으로 그렇게 될것같지만 좀 엄밀하게 설명해주시면감사할것같습니다
Lebesgue measure에 대한 질문으로 생각하고 답변달았는데, 일반적인 measure space에서는 참이 아님.
nonnegative이니까 양항수열의 합으로 생각 할 수 있고 이는 유한 부분합들의 supremum이고, 유한부분합은 유한부분집합 위의 simple function의 적분값으로 볼 수 있으니까 위와 같이 생각하는 것이 가능할 것 같음. 그리고 양수항 x_alpha 의 uncountable개의 합은 x_alpha >1/n 인 항이 항상 유한개 일 수는 없으니까, 일정한 양수 보다 큰 항을 반드시 무한개 있어야 하므로 supremum을 이용하여 정의하면 무한이 됨.