방금 올린글에대해 답변을 좀 들었는데
가산무한공간에서의 적분이 유한부분집합에서 simple 함수적분의 sup이라는것은 알겠으나 가산무한집합을 유한부분집합으로
Disjoint하게 쪼갭시다
그리고 그것을 유한집합이라합시다
그러면 그것의 sup이 양의함수값과 한원소집합의 측도의곱의
Countable한 합이라는것을 직관적으로는 알겠으나
수학적으로 엄밀하게 알수없나요?
가산무한공간에서의 적분이 유한부분집합에서 simple 함수적분의 sup이라는것은 알겠으나 가산무한집합을 유한부분집합으로
Disjoint하게 쪼갭시다
그리고 그것을 유한집합이라합시다
그러면 그것의 sup이 양의함수값과 한원소집합의 측도의곱의
Countable한 합이라는것을 직관적으로는 알겠으나
수학적으로 엄밀하게 알수없나요?
아까전엔 Lebesgue measure인 경우에 대해서 질문한다고 생각해서 참이라고 적었는데, 만약에 Lebesgue measure처럼 singleton들이 sigma algebra에 들어있는 공간이 아니라면 당연히 본문의 내용은 말이 안 됨.
singleton들이 모두 sigma algebra에 들어있는 measure space의 경우에는 일단 임의의 nonnegative simple ftn은 ∑c_i * 1_{A_i}로 표현가능하고, 여기서 c_i는 0보다 큰 실수, A_i는 disjoint한 measurable set, 1_{A_i}는 A_i에 대한 characteristic function. 그렇다면 적분하는 공간이 countable하면 각 A_i도 countable하니까, finite한 A_i의 부분집합 A_{i,1}⊆A_{i,2}⊆...를 정의해줄수 있어서 j를 무한으로 보냈을때 mu(A_{i,j}) -> mu(A_i)를 만족함.
이 다음부터는 자명하다시피한데, 각 A_i 대신에 A_i의 적절한 유한부분집합 A_{i,j(i)}를 택해서, ∑c_i * 1_{A_{i,j(i)}}를 생각해본다면 simple ftn의 정의로부터 합도 유한번 합할것이고, 각 A_{i,j(i)}는 유한집합이니 ∪A_{i,j(i)} 또한 유한이 될것임. 그러니까 ∑c_i * 1_{A_{i,j(i)}}의 적분 또한 각 singleton 위의 measure에 c_i들을 곱해서 합한 값이 될 것이고, j(i)를 적절히 선택하면 mu(A_{i,j(i)})가 mu(A_i)로 향하도록 만들어줄수 있지. (여기서 mu(A_i)가 무한이면 mu(A_{i,j(i)}) 또한 임의적으로 크게 만들수 있을것이고, 유한이라면 measure 차이를 아주 가깝게 만들어줄 수 있음)
Singleton들은 전부 시그마알지브라에 들어간다고하는가정입니다