일단 위키피디아나 나무위키에는 함수의 볼록의 정의가 다음과 같이 나와있습니다.
모든 x, y와 (0, 1) 사이의 t에 대해 f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y)가 성립하는 함수 f를 convex function이라 한다. 이를 정의1이라 하겠습니다. 모든 x, y와 [0, 1] 사이의 t에 대해 f(tx+(1-t)y)<=tf(x)+(1-t)f(y)로 정의한 것을 정의2라 하겠습니다.
제가 알기로는 정의2가 convex function의 정의이고 정의1이 strictly convex function의 정의라고 알고 있습니다. f(x)=x의 경우 정의2를 만족하지만 정의1을 만족시키지 못하기 때문에 두 정의는 다른 의미를 가지죠.
하지만 위키피디아에서는 정의1과 정의2를 동시에 제시하는 것처럼 보입니다. 제가 "임의의 두 점을 이은 할선~"가 정의1을 의미한다고 느낀 이유는 실력 정석 같은 책이나 블로그에서 "임의의 두 점을 이은 할선~"이라는 정의를 제시하면서 f''(x)>0인 구간에서 곡선 y=f(x)는 (아래로) 볼록하다는 정리를 제시하기 때문입니다. 이는 정의1에 해당하는 정리이죠. 물론 정의2에서도 성립하긴 하지만 이 경우 f''(x)>=0인 구간에서 곡선 y=f(x)는 (아래로) 볼록하다는 정리를 제시하는 것이 자연스럽습니다. 그리고 이것이 제가 혼란을 느낀 부분입니다.
질문은 총 3가지입니다.
저는 정의1, 정의2 중에 뭐가 더 표준적인 정의인지 궁금합니다(저는 정의2가 더 표준적이라고 알고있습니다). "임의의 두 점을 이은 할선~"이라는 진술이 정의1을 의미하는지 정의2를 의미하는지 여러분들의 생각이 궁금합니다. 교교과정에서 f''(x)>0인 구간에서 곡선 y=f(x)는 (아래로) 볼록하다는 정리를 제시하는 것을 보면 정의1을 가르치는 것 같은데 정의2가 더 표준적이라면 굳이 이렇게 하는 이유가 궁금합니다.
1. 정의2가 표준 2. 교육과정 상으론 미분이 두번 가능한 함수 이계도함수를 구함으로써 딱 겉으로 보이는 개형만 추론해보라는 용도로써 알려줌 실제로 젠센 부등식을 활용해 볼록의 성질을 활용하는 건 교육과정 외이기 때문에 엄밀하게 볼록의 정의를 알려주지 않는 거임
그리고 교육과정은 그냥 학생들이 원활한 대학 수학을 달성하기 위한 지식을 갖추기 위해 만든 거지 깊은 수학적 지식을 함양하는 목적이 아니니까 꼭 교육과정에 명시된 거에 연연하지 않았으면 좋겠음
애초에 교육과정에서 볼록성의 정의를 그리 심각하게 따지지 않음. Strictly convex function을 교육과정에서 아래로 볼록하다고 부르는 건 확실한데, 예를 들어 상수함수도 볼록함수냐? 이런 질문에 대답하지 않고 사실 이런거 꼬치꼬치 따질 이유도 없긴 함 결국 이름 붙이기 나름이라서