[일반] 밑에 극대 극소 질문한 사람인데…

[익명(1.253)]

내가 아는 쌤은 왜 닫힌구간이 안 되는지 설명할 때 예를 들어 극대 극소가 무한개 있는 함수에서 극대 극소를 잡으려면 닫힌구간을 무한번 연산해야하는데 연산의 결과가 열린구간이 될 수 있어서 안 된다고 했습니다. 이거에 관한 내용은 뭐라 검색하면 나오는지 궁금합니다.

[Affine(algebra500)]

그냥 상식적으로 생각해봐. (a,b) 랑 [a,b] 가 다른게 뭐임? 끝값의 포함 여부잖아

[Affine(algebra500)]

끝값을 포함하는 닫힌구간을 사용하면 극대,극소를 정의할 수 없구나(또는 불편하구나) 라는건 대략 추측할 수 있을거임.

[Affine(algebra500)]

닫힌구간을 쓰면 어떤 점이 불편하길래 다들 열린구간으로 극대극소를 정의하느냐? 라는 질문이 당연히 따라나옴.

[Affine(algebra500)]

우선 극댓값은 '주변 값 이상' 인 함숫값을 말하는거임. 이 표현을 수학적기호로 번역하면 '이상'이라는건 ≤ 을 의미할 것임. 그런데 '주변 값' 이라는건 어떤 수학기호로 번역하는게 온당할까? 바로 열린구간임.

[Affine(algebra500)]

여기서 열린구간과 닫힌구간의 대비되는 특징은 다음과 같음. "5를 원소로 갖는 열린구간 (a,b)" 와 "5를 원소로 갖는 닫힌구간[a,b]" 라는 표현을 비교했을 때, 열린구간은 무조건 a<5<b 가 성립할거임.

[Affine(algebra500)]

하지만 5를 포함하는 닫힌구간 [a,b] (a<b)의 경우 세가지 경우가 생김. a<5<b 또는 5=a<b 또는 a<b=5. 각각 직접적인 예시를 들자면 [4,6], [5,6], [4,5] 임. 이 셋 중 첫번째만 '5보다 큰/작은 수' 를 전부 포함함. 두번째, 세번째는 5보다 큰 수만 포함하고나 작은 수 만 포함함.

[Affine(algebra500)]

ㅇㅋ 열린구간은 한가지, 닫힌구간에 세가지라 대비된다는건 알겠는데 그게 극대 정의랑 뭔 상관이냐? 가령 주어진 함수 f가 5에서 극대를 갖는지 판단하고 싶다면 f(5) 가 "5 주변의 함숫값" 보다 크거나 같은지 확인할거란 말이야? 이 때 "5주변" 은 5보다 조금 큰 수, 5보다 조금 작은 수 모두를 의미할 거임.

[Affine(algebra500)]

이때 열린구간은 한가지 경우밖에 없으니까 '5를 포함하는 열린구간(a,b)를 잡아서 확인해볼까?' 로 끝내면 됨. 하지만 닫힌구간은 세가지 경우가 있으니까 '5를 포함하는 닫힌구간 [a,b]를 잡아서 확인해볼까? 아 근데 a=5이거나 b=5 인 경우는 빼고' 라는 인위적인 제한조건이 더 붙어야 하는거지.

[Affine(algebra500)]

그럼 ㅅㅂ 닫힌구간으로 극대극소 정의해도 되는거임? ㅇㅇ 됨. 대신 c에서 극값이 발생하는지 확인할 때 [a,b] 에서 a,b모두 c와 같으면 안된다는 조건만 걸어주면 됨.

[Affine(algebra500)]

그럼 ㅅㅂ 닫힌구간 쓰면 안된다는 사람들 다 거짓말임? ㄴㄴ 닫힌구간으로 정의해도 되긴 하는데 a,b가 c와 같으면 안된다는 조건을 걸거면 그냥 애초부터 (a,b) 로 두는게 편하잖아. 닫힌구간으로 극값 정의 하는건 그냥 억지로 하는거임.

[Affine(algebra500)]

우리 선생님이 말해준 무한개 어쩌구는 뭔소리임?-> 나도 모르겠음;;

[Affine(algebra500)]

그럼 닫힌구간이랑 열린구간 사이엔 큰 차이 없는거 아님? 왜 열린구간이 '주변 값' 을 표현하기에 더 온당하다는거임? -> 그것이... 열린집합이니까..