일반적인 교과서에서 동치인 정리들을 증명할 때 보통은 순환구조를 통해 증명함. 예를들어 정리 (1) -> 정리 (2) - > 정리(3) -> 정리(1) 이런 순서로 증명하는 것으로 정리 (1), (2), (3) 이 동치인 것을 알 수 있음.

그러나 듀에르는 어느날 이 정리들의 동치가 사실은 대칭과 회전으로 표현될 수 있음을 파악. 그는 정리를 다른 정리로 이동할 수 있는 증명과정이 어떤 함수 f로 표현될 수 있다고 생각. 즉, 하나의 증명은 수 많은 논리 치환 g1, g2, g3, g4,... 들의 순서를 고려한 위상적 결합에 의해 표현되며 그것은 함수 f로 표현되는 거임.

그렇다면 우리가 도달할 수 있는 증명은 유한한 공리를 바탕으로 시작하기 때문에 아무리 계속해서 연구를 한다고 하더라도. 결국에 증명 A로부터 증명 B를 얻어내는 방식은 인간이 파악할 수 있는 함수공간 f가 유한한 만큼, 연구가 거듭될수록 점점 비효율적이 될거라 생각.

결국 수학 연구의 새로운 패러다임은 무언가를 증명하거나 개선하는게 아니라. 기존의 여러 증명들을 융합하여 아직 탐색하지 않은 영역을 개척하는 것에서 온다고 생각했음.