[대학교이상] 곡면적을 다각형 분할로 구할 수 없는 이유가 뭔가요?

[익명(218.235)]

곡선 길이는 꺾은선 분할의 상한으로 정의되는데
곡면은 다각헝 분할이 아니라 접평면 분할로 정의하던데
이유가 뭔가용 행님덜

[익명(118.235)]

극한값이랑 실제값이랑 달라짐

[익명(218.235)]

그럼 일반적으로 곡선 길이도 접선의 분할이라고 생각하는게 맞는건가 곡면은 접평면의 분할이고 일반적으로 n차원 다양체도 그런거고?

[익명(211.48)]

안될 이유가 없음. 다만 접평면을 사용하는 것이 좋겠지. 곡선의 길이를 구할 때, 직선의 (일부분의) 분할로 근사값 구한 다음, 근사값의 극한을 취했잖아. 순간변화율도 평균변화율의 극한으로 본 것 처럼, 다각형의 극한을 취하면, 결국 접평면의 (일부분의) 분할의 극한과 같아질 듯

[익명(118.235)]

shcwarz lantern이라고 있던데 원기둥 옆면을 작은 삼각형으로 근사할 때 분할 방법에 따라 발산하기도 하더라고요 결국 다각형 분할이 접평면에 가까워져야 하는거니까 접평면으로 분할한다는 입장이 맞는 이야기인지...

[익명(118.235)]

Schwarz

[익명(118.235)]

그니까 곡선에서처럼 곡면적을 단순히 작은 내접 다각형의 분할의 상한으로 정의하면 곤란하니까 작은 접평면의 분할의 극한으로 곡면적을 정의하는거죠?

[익명(143.248)]

댓글덕에 재밌는거 알아감

[ns(qwer2357)]

고민해보면 pi=4 증명문제랑 논리적으로 같음. 근사하지 않는 채로 그냥 분할하니 그림이 가까워지니까 퉁치면 안되는거 pi=4는 다음 참조
https://math.stackexchange.com/questions/12906/the-staircase-paradox-or-why-pi-ne4

[ns(qwer2357)]

접평면이 아닌 다른 분할법으로 곡면을 (접평면과 일정 각도를 유지하게) 쪼개면 rectilinear로 원을 근사했을때 접선 길이와 일정 비율로 차이가 계속 누적되어 근사하지 않는것과 같은 일이 일어나는거.

[익명(220.76)]

감사합니다

[ab(223.38)]

f(x)가 점별수렴한다고해서 f'(x)가 수렴하는건 아니라서 라고 이해해도 될듯 - dc App