편의상 반말로 하겠습니다.


우리가 언뜻 생각하기에 난이도가 1차원 < 2차원 < 3차원 ... 으로 올라간다면

측정값을 구하는 것의 난이도 역시 길이 < 넓이 < 부피 ... 로 올라가야함.

그런데, 고등학교 과정에서는 넓이와 부피는 배우는데 임의의 곡선의 길이를 구하는 법은 배우지 않음. 이는 대학교에 가서 배움.


내 생각은 이럼.

넓이를 가로 길이가 아주 작은 사각형 넓이의 합으로 구한 다음, 그 가로 길이 -> 0 으로 해서 구하는 것처럼

길이도 마찬가지로 구할 수 있잖음?

그런데, 길이는 루트((dx)^2 +(dy)^2)의 형태가 돼서, 계산이 골치아파짐.

예를 들어, y=x^2의 포물선의 길이를 x=0부터 x=1까지 구한다치면 dy = 2x*dx에서,

작은 길이 at x = 루트[ (dx)^2 + (dy)^2 ] = 루트[ (dx)^2 + 4x^2*(dx)^2 ]

= 루트[1 + 4x^2] dx

가 되는데, 이를 0에서 1까지 적분하면 1.4789... 같은 값이 나옴... 그냥 적분하기도 복잡하고..


반대로, 이 포물선 아래와 x축 사이의 넓이는

작은 사각형 넓이 at x = (dx) * (x^2) 이 돼서, 이를 0에서 1까지 적분하면 1/3이라는 깔끔한 값이 나옴. 적분하기도 쉽고..


단지 이게 이유일까요? 계산하기가 거지같다는것?