[중고딩문제] 다항식질문

[익명(106.101)]

어케품;;

[익명(104.28)]

결론을 부정해서 귀류법ㄱㄱ

[DifferentialGeometry(homekipper11)]

https://m.dcinside.com/board/math/43569

[DifferentialGeometry(homekipper11)]

맞는지는 모름

[익명(39.7)]

결론을 부정하여 자명하지 않은 경우 g(x)h(x) (즉, g(x), h(x)가 +-1이 아닌)로 인수분해했다고하자. 그러면 g(x), h(x)는 최고차항 계수가 +-1인 정수계수다항식이어야하고 또한 1차이상임을 안다. 또 모든 i = 1,2, ... ,10 에 대하여 g(a_i)h(a_i) = -1이므로  g(a_i) = +-1, h(a_i) = +-1.

[익명(39.7)]

이때 g(a_i) = 1인 i가 정확히 5개가 아니라고 해보자. 그러면 g(a_i) = 1인 i가 6개이상이거나 g(a_i) = -1인 가 6개이상인데 g(a_i) = 1인 i가 6개이상이라하면 그 i들에대해 h(a_i) = -1이고 이런 i도 6개이상이고, 가정에서 g(x) - 1, h(x) + 1은 모두 0이 아니므로,

[익명(39.7)]

이 경우 인수정리로부터 g(x) - 1 과 h(x) + 1은 모두 6차이상, 곧 g(x)h(x)는 12차식이상이므로 10차식인것에 모순. 일반성을 잃지않고 g(a_i) = -1인 i가 6개이상일 수도 없음. 따라서 g(a_i) = 1인 i는 정확히 5개.

[익명(110.70)]

이제 이 i들을 i_1, i_2,...,i_5 라고 하자. 인수정리에 의해 g(x) - 1, h(x) + 1는 5차이상인데 g(x)h(x)는 10차식이므로 각각 정확히 5차식이고 g(x) - 1 = +-(x-a_i_1)(x-a_i_2)...(x-a_i_5) h(x) + 1 = +-(x-a_i_1)(x-a_i_2)...(x-a_i_5)

[익명(110.70)]

g(x)h(x) = (x-a_i_1)^2(x-a_i_2)^2...(x-a_i_5)^2 - 1이어야한다. 그런데 이는 주어진 다항식과 자명히 다르므로 모순이다. 따라서 증명이 끝난다.(다른 말로는 "준 다항식은 Z위의 기약다항식이다."라는 것)

[익명(223.38)]

어디 문제임? - dc App

[융한스(jmsksj1223)]

특목고는 고1때 이런 문제 나옴?ㄷㄷ

[익명(118.235)]

상수항에 집중하면 a0a1a2a3...a10-1일텐데 이 상수항의 약수가 어떻게 분해가되는지 생각해봐요

[익명(118.235)]

무조건 정수인 인수의 개수가 10개가 안될거에요. 소수성때문에요