0. Strang


일단 어그로부터 끌자. 솔직히 스트랭 깔 갤러들 개 많을 거라고 생각하는데, 그건 너님들이 선형대수학에서 행렬을 '잘' 다루는 게 얼마나 중요한지 몰라서 그런 것임. 이론적 틀을 적합하게 세우고, 그 안에서 이론을 보는 거 당연 중요하고, 또 수학과 입장에서는 그렇게 해야 명쾌하게 보이는 것 같지만... 실상 그게 계산에서는 생각보다 무쓸모임. 


행렬을 잘 보는 눈을 알려주기에는 여전히 Strang 만한 게 없음. 그리고 책의 표지에도 있는 fundamental theorem of linear algebra 그림은 사실 실제로 선형대수에서 필요한 모든 구성을 한 눈에 다 보여주고 있는 데다가, 나중에 함수해석 공부할 때도 엄청 요긴함 (예를 들어 spectral theory나 Fredholm theory).



1A. Hoffman and Kunze


Friedberg가 수업용 교재로 좋은 책인 걸 깔 생각은 없는데, 사실 제대로된 이론적 전개 과정을 볼 거면 좀 미진한 것도 사실임. (그럼에도 불구하고 충실한 연습문제들과 응용 토픽들 다룬 섹션들은 아주 좋음.)


하지만 대수학적 입장에서 선형대수학을 잘 살펴보고 싶다 싶으면 Hopffman and Kunze 만큼 잘 쓰여진 책도 없음. 오래된 책이라 표기법도 그렇고, 서술 스타일도 다소 건조하긴 하지만, 현재 선형대수학 교재들의 모범적인 구성의 견본인 책이기도 하고, 잘 살펴보면 볼 수록 좋은 접근법과 아이디어들이 많음. 특히 다항식으로 각종 이론 접근하는 건 이론적인 측면에서 매우 구체적이기도 하고, 추후에 module theory에서 상당히 좋은 분석적 도구임.


1B. Halmos


대수학적인 접근이 싫다, 좀 더 직관적이고 해석학적인 측면에서 보고 싶다면 여전히 Halmos만한 책은 없음. 다분히 함수해석을 생각하고 적힌 책이기 때문에, 대수학적인 기초 쌓기는 모자랄 수 있으나, 책 자체는 어마어마한 아이디어의 보고임. 선형대수학 제대로 공부해보고 싶으면 이 책과 '싸우면서' (Halmos가 이야기했듯이) 많이 배울 수 있을 것임.



2A. Jänich


아주 좋은데, 사실 잘 안 알려진 자료. 책 내용이 전반적으로 너무 적절해서 코멘트로 더하고 빼고 할 게 없음. 일단 매우 기하학적이고, 그렇다고 계산을 소홀히 다루는 것도 아니고, 이론적 기초도 잘 전개되어 있음. 본래 독어판이 있고, 영문판으로 번역되어 있는데, 사실 Jänich 자체가 매우 훌륭한 저자임. 이 저자의 다른 책들도 해당 토픽을 배우는데에 아주 요긴함. (가령 위상이나 벡터해석(=다양체론))


2B. Shilov


좀 안 비싸고 좋은 선형대수학 책을 구하고 싶으면, Dover에서 나온 이 책을 살펴보셈. 책이 두가지 버전으로 발매되어 있는데, 그냥 Linear Algebra란 제목의 책이 좀 더 나은 편. Cramer's rule을 이용해서 선형연립방정식을 접근하는 방법을 택하기 때문에, 걍 첫 단원이 determinant인데, 설명 매우 잘 되어 있으니 겁먹을 필요 없음.


3. Roman


Advanced Linear Algebra. 걍 선형대수 사전 느낌으로 보면 됨. 사실 대수학 책에도 다 써 있을 내용이 대부분인데, 아무래도 linear algebra over ring이랑 over field는 느낌이 많이 다르니까, 선형대수 관점에 맞게 써놓은 책이라고 보면 됨.



그리고 Axler에 대한 코멘트.


이미 '괜찮은' 선형대수학 교재가 많이 나와 있는 시점에서, 그리고 앞으로도 괜찮은 선형대수학 교재가 '계속' 나올 거라는 점에서, 포지션이 되게 애매한 교재인 것은 맞음. 해석학적 관점에서 더 살펴보고 싶으면 그냥 Halmos보면 되고, 다항식 이론으로 잘 접근하고 싶으면 Hoffman & Kunze 보면 되고, 아예 계산적 입장에서 보고 싶으면 Strang 보면 됨. 그래도 이 책이 가진 좀 중요한 관점 중 몇은, 실제 determinant가 eigenvalue를 다루는데 그렇게까지 좋은 도구가 아니라는 점임. 설령 유한차원이어도, 그나마 좀 구체적으로 다뤄볼만한 건 딱 3x3 행렬까지임. 그리고 eigenvalue의 곱으로 determinant를 정의해버리면, 당연히 그 자체로 basis-free한 정의를 얻음.


요컨대, 이 책의 핵심은 eigenvalue와 eigenspace 자체를 이해하는 게 핵심이 되어야지, determinant가 주가 되어서는 안 된다는 점임. 물론 이것도 이거대로 문제가 있음. Cramer's rule을 좀 세련되게 쓰면, adjugate matrix의 존재성이 나오는데, 이게 종종 요긴할 때가 있음. 그리고 Cramer's rule을 적으려면 고리타분한 determinant 정의를 알아야 함. 여튼 그럼에도 중요하게 다룰 건 Axler에도 다 다뤄지고 있고, 개인적으로 몇몇 관점들은 요긴하다고 느낌.



어차피 선형대수학은 책의 저자가 어떤 측면에 초점을 맞춰서 쓰느냐, 그리고 저자가 자기 연구에서 어떤 선형대수학 내용을 많이 썼느냐에 따라 관점이 저마다 다 다를 수 없음. 내 생각에 미적분학과 달리, 선형대수학은 너무나도 방대한 현대수학의 기초이기 때문에, 지구상의 수학자만큼 다 다른 견해가 있을 거라고 생각함. 그 말은, 선형대수학 자체를 '한번에' 다 배우겠다는 생각 자체가 말이 안 된다는 것임. 선형대수학 자체는 분야로서 연구가 안 되지만, 오늘날에도 요긴한 선형대수학 결과들은 계속 새로 만들어지고 있음. 결국 자기 취향에 맞게 잘 익혀놓고, 앞으로 계속 수학을 배우고 써먹어 나가면서 필요한 것들을 채워야 할 분야가 선형대수학임.


도움이 되었기를 바람.