Stoll이나 다른 해석학 책에서 함수를 정의할 때 보면
E: Subset of metric space (X, d) → R 로 표시하는데
Rudin 해석학 보면
Metric space X → Metric space Y 라고 적혀있음
이러면 함숫값도 d_Y(f(p), f(q)) 이런 식으로 적다 보니
뭔가 개념이 빨리 눈에 안 들어오는거 같아..
공역이 그냥 아무 Metric space 인게 루딘밖에 없는거같음
루딘에 예시가 다양한 것 같지는 않던데
공역이 R이라서 함숫값도 차만( |f(p)-f(q)| 이런식으로) 적으면 되는 다른 책의 증명을
그냥 죄다 Metric space인 Rudin으로 돌아와서 그대로 적용했을 때
적용할 수 없거나 엄밀함을 잃는 그런 상황이 나옴?
결국 거리공간도 두 점을 받으면 몇 가지 성질을 만족시키게끔
한 개의 음이 아닌 실수를 대응시키는거잖아..
왜 루딘만 이런건지 모르겠음
적어도 함숫값은 그냥 유클리디안처럼 그냥 빼고 더하고 하고싶은데
metric이라고만 하면 평행이동에 대해 불변이라는 보장이 없지. 그러나 norm으로부터 온 metric이라면 translation-invariant이고.
잘 이해가안됨.. translation invariant도 무슨 말인지 잘 모르겠음 공역이 R인거는 특수한 경우니까 마냥 아무 Metric space에는 적용할 수 없는거임? 루딘만 공역이 R이 아니라서 너무 까다로움
근데 막상 보면 표현만 d( , )로 놓고 그대로 써도 될 거 같은 경우도 있고... 정확히 언제 되고 언제 안되는지가 헷갈림 그냥 다 증명 해보면서 알아야하나
일일이 증명 뜯어보면서 어디까지 일반화되고 어디서부터는 안 되는건지 제각기 다르다는 것을 알아야 함.
|f(a)-f(b)|라는 표현은 공역에 뺄셈이 있을 때, 즉 공역이 벡터공간일 때에만 의미가 있음. 공역이 metric space지만 벡터공간이 아니면 아예 이런 표현 자체가 의미가 없어지는 거임
그럼 첫댓이 말한거 의미가 뭐임..? 사실 R도 유클리디안 거리공간이니까 그냥 아무 거리공간 Y 일때도 그냥 R이었던 것처럼 뺄셈하는 식으로 다 적어놓고 |f(p)-f(q)| → d_Y (f(p), f(q)) 로 죄다 바꾸면 되는거 아냐..?
증명에 절댓값의 삼각부등식 외에 다른 성질 (예를 들어 |ax|=|a||x| 같은)을 쓰지 않았다면 당연히 상관 없겠지
ㄱㅅㄱㅅ 혹시 이럴 엄밀한 개념 조금 찍먹해 볼수 있는 레퍼런스 있음?(영상이든 전공책이든) 학부 2학년 수준의 해석학 책은 그냥 그 책만의 기준으로 서술하는 것 같더라고..
뭘 원하는건지 잘 모르겠는데.. 요지는 metric space라는 개념이 R이나 R^n같은 공간들보다 훨씬 더 일반적인 개념이라는 것뿐임. 뭔가 깊은 이야기를 하는 게 전혀 아니라.
예를 들어 아무 집합 X에 d(x,y)=1 if x=y, d(x,y)=0 otherwise로 d를 정의하면 d는 metric이 되는데, 이런 경우는 X에 d 외에 아무 구조가 없으니 공역이 X인 함수에 대해서는 함숫값을 더하느니 빼느니 하는 과정 자체가 의미가 없겠지. 하지만 연속성은 바로 그 metric을 이용하면 되니 여전히 정의할 수 있는거임
미적분을 r에서 해야하니까 낮은레벨에선 r로 국한하는거