안녕하세요. 해석학 관련해서 질문 하나 부탁드리고자 합니다.
[1]
사진에 집합 S의 범위를 보면 당연히 상계는 없고 하계는 0임을 알 수 있는데, 무슨 과정을 보이라는 것인지 모르겠습니다. 첨부파일에 나와있는 것처럼 서술하면 되는 것인가요?
[2]
두 번째 문제에서 마지막 두 줄은 틀린 것인가요?. 주어진 집합의 원소가 아니어도 sup, inf는 될 수 있을 것 같은데, 만약 틀렸다면 힌트 조금만 부탁드리고 싶습니다.
[3]
증명하는 문제는 어디까지 증명해야 하나요? 첨부된 문제만 해도, 보면 답은 알겠는데 생각을 서술하자니 어디까지 해야 할지를 잘 모르겠습니다. 너무 당연하면 그냥 It’s trivial이라 해도 될까요?
감사합니다.
1. 왜 당연한지 보이라는 문제임 2. 0이 lower bound인 건 당연하니까 0보다 큰 lower bound가 없다는 걸 보여야 하겠지? 너는 엉뚱하게 0보다 작은 lower bound가 없음을 보이고 있는거라 논리 방향 자체가 이상함
3. 당연하다고는 말하지만 막상 논리적으로 적으라니까 당장 본문 풀이부터 어설프고 논리도 틀렸잖아? 좀 세게 말하면 이건 네가 문제에서 요구하는 수준에도 못 미쳤다는 거니까 당연하느니 trivial이니 하는 말을 쓰는건 건방지기도 하고 애초에 네가 그럴 단계도 아닌거지. 그리고 풀이는 누가 읽어도 논리적 gap 없이 술술 읽힐 정도로 명확하게만 쓰면 됨
그럼 임의의 양수 엡실론이 S의 lower bound가 될 수 있다고 가정한 다음, 0<x<엡실론 구간 때문에 정의상 S의 lower bound가 될 수 없다. 따라서 inf S=0.
윗댓처럼 하면 될까요?
맞긴 한데 구간 “때문에”라는 게 정확히 무슨 뜻인데? 대충대충 쓰지 말고 누가 읽어도 뜻이 명확하게 전달되게 써. 0<x<e인 실수 x가 존재하므로 (예를 들어, e/2) lower bound가 되지 못한다고 정확하게 표현하셈 특히 해석개론 처음 배우는 단계에선 더더욱.
지금에야 왜 이런 당연한 걸 자꾸 물어보나 할텐데, 공부 조금만 더 하면 e-d니 compact set이니 하는 것들이 튀어나와서 더이상 당연하게 느껴지지 않는 것들을 계속 배우게 될 거임. 그때 가서 헤매면서 책 던지기 싫으면 지금 수학적으로 엄밀한 글을 읽고 쓰는 능력을 길러야 함
조언 감사합니다.
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조언 감사합니다.
[1] 음 실수집합 R의 정의가 뭔지 생각해보라는 건데, 사실 (1) (2)의 명제에서 '완비성공리'는 불필요함. 익숙하지 않도록 "임의의 순서체 R에 대해, S= ~" 이 명제를 증명해보셈. 첨부파일의 (1)명제 밑에 써놓은 두 단락에서, 공통적으로 임의의 e, l ~ 이러고 있는데 그런 e, l의 존재성을 밝힐 필요가 있음.
물론 엄밀성을 좀 버린다는 걸 감안하면 존재성을 밝히고 있지않다고 할 수는 없는데.. 그렇다고 해도 그럴거면 임의의 e, l이러고 있을 필요는 없음. 단락 각각에서 존재하는 특정원소 '1'(물론 1>0), '0'을 잡아서 다시 증명해보셈
S의 원소의 최솟값은 0이고, 1을 u번 더하면 u를 얻으며, 이는 다시 S의 원소이다. u를 S의 상계라고 가정. 이때, u를 얻었던 것과 같은 방식으로 u+1을 얻을 수 있는데, u+1도 집합 S의 원소이다. 이는 u가 S의 상계라는 것에 위배된다. 따라서 S의 상계는 존재하지 않는다.
윗댓처럼 하면 될까요?
"1을 u번 더한다"고 했는데 이게 정확히 뭘 의미하는 건지 다시쓰셈... 아니 그냥 솔직히 말해서 그런 말을 왜 쓰는지 모르겠음. 쓸데없이 너만의 언어를 창조하지말고 '있는 단어'들로 문장을 구성하려고 노력하셈.(나중에가면 있는 단어도 머릿속에 넣기 복잡한데 뭐하러 그러냐는 거)
일단 증명을 해드림. 증. S의 상계 u가 존재한다고 가정. (또한 그 중 하나를 u라두자.)0은 S의 원소이고 u는 S의 상계이므로 u>=0. 또한 1>0이므로 u+1 > 0이고 u+1은 S의 원소이다. 그러나 u+1 > u이므로 이는 u가 S의 상계라는 것에 모순이다.
증. S의 정의로부터 0은 S의 하계이다. 따라서 S는 하계를 갖는다.
언어를 창조하지 말라는 게, 책에서 서술하는 방법대로 서술하라는 말씀이시죠?
얘는 말귀를 못알아듣냐 니 학문을 하려면 니 공리계를 세우고 정의를 만들고 해석학을 하려면 해석학 공리와 정의에서 시작하라는거아냐
아.. 이제 알겠습니다.