아까 원하고 사각형하고 위상 동형 질문했던 사람인데
예를 다시 들고 싶어
R^2의 부분공간
원(의 내부)하고 저 옆에 그림판으로 임의로 그린 도형하고
(둘다 R^2의 열린집합에 R^2 부분공간위상을 준 위상공간임 점선 그리기 힘들어서 그냥 선으로 그렸음)
위상동형이잖아
근데 이런 복잡한 모형은 위상동형사상을 어떻게 찾아?
위상동형사상의 존재성은 알지만
그것이 정확히 무엇인지 결정하지 못하는 경우도 있어???
그리고 막상 저게 위상동형임은 어떻게 증명해,,?
공부 많이 안한점은 미리 사과...)
riemann mapping thm보셈. 내 기억으론 구성적인 방법도 있고 존재성증명으로 끝나는것도 있는데 구성적인거 봐도 너가 원하는거랑은 거리가 좀 있을거임. 존재성증명과 실제로 어떻냐를 증명하는건 매우 다르니까...
오오 리만매핑씨아롬이 여기서 이렇게 응용되네. 근데 그럼 만약 일반적인 n차원 열린집합의 예는 어떻게 해결해,,?? 예를들어 위상수학자들은 도넛하고 머그컵하고 구별 못한다는 농담이 있듯이 말이야,, 예를들어 100차원의 도형이(직관적으로 위상동형사상을 찾기 매우 어려울때) 위상동형임은 어떻게 증명하면 좋아??
푸앵카레 추측이 원하던 답에 가까울듯. n차원에서 simply connected면 sphere란 추측이니까. 어케 증명하는진 페렐만씨의 증명을 보시고연... 뭐 3차원 4차원일때가 제일 어렵고 그 위로는 먼가 좋은게 성립해서 잘 된다고함
일반적으로 위상동형인지 아닌지를 구별하는 것은 매우 어려운 문제입니다.
점점 질문이 자세해져 가고 있으니 책을 찾아보자 일반위상수학의 관심사는 위상군의 분류지 그 동형사상을 어떻게 구성해야 될지는 다른 최적화 분야의 문제일것 같음. 두 공간이 대수적으로 정의되면 여러 지표를 계산하고 비교해서 얼마나 둘이 비슷한지를 알 수 있지만 정확히 증명하는건 그때마다 다를 것 같음. 차원이 커질수록 더 난해하고. 나도 공부가 부족한 사람.
답변해주신 모두들 정말 고마와요
일반적으로는 따지기 어렵고, 본문의 경우에는 그냥 Jordan–Schoenflies theorem의 결과에 의해서 자명.