[중고딩문제] 이거 어떻게접근해야할까

[익명(118.235)]

다항식

P(x)=x⁵+x⁴+x³+x²+x+1에 대하여

P(x⁶)을 P(x)로 나눈 나머지를 구하여라....

(x-1)P(x)=x⁶-1임을 이용해야할거같은데 생긴꼴상...

딱히 진전이안됨..

- dc official App

[익명(219.255)]

6?

[익명(219.255)]

더 좋은 방법으로 (x^36-1)을 ((x^6)^6-1)=(((x^6-1+1)^6-1)로 두고 (x^6-1)의 일차항의 계수를 구하면 됨 그럼 6

[익명(219.255)]

https://imgur.com/a/fB48mP3

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[익명(118.235)]

나머지가 4차다항식이라 그것만으로는 안되지않나요 - dc App

[익명(14.37)]

P(x)=0의 근 중 하나는 x=-1이고, 나머지 네 근은 전부 서로다른 허근. 이를 a1,a2,a3,a4,a5라 하자. 그러면 (x-1)P(x)=x^6-1이므로 a_1^6=a_2^6=..a_5^6=1임. P(x^6)=P(x)Q(x)+R(x)에서 x=a1~a5 5개대입 P(1)=R(a1)=R(a2)=..R(a5)=6 - dc App

[익명(14.37)]

R(x)는 4차이하의다항식인데 R(x)=6을 만족시키는 서로다른 다섯개의 복소수 x가 존재함. 따라서 R(x)=6은 항등식. 나머지는 6. - dc App

[익명(147.46)]

P로 x^6을 나눈 나머지가 1임 -> x^30, x^24, ..., x^6을 P로 나눈 나머지도 1임 끝

[익명(58.230)]

여러가지 풀이가 있겠는데요 중고딩 수준에서 풀이는 다음과 같습니다 1. 가장 정석적인 방법 P(x^6) = P(x^6)/P(x) × P(x) 1 = (x-1)×P(x)/(x^6-1) 을 이용하시면 되겠습니다 정리하면, P(x^6)= M(x)P(x) + 6(x-1)/(x^6-1) ×P(x) = M(x)P(x)+6 이 됩니다

[익명(58.230)]

두번째로는 2. x^6 = (x-1)P(x)+1 임을 이용하는 방법 P(x^6) = (x^6)^5+(x^6)^4+(x^6)^3+(x^6)^2+x^6+1 = (P(x)꼴+1)×5 + 1 (by binomial thm)= P(x)꼴 + 6 이 되겠습니다