[일반] 미분형식 쉽게이해하는 방법 없음?
1형식 = 쌍대공간의 원소
텐서 = 쌍대공간과 벡터공간의 다이아드 곱을 체로 보냄

1형식과 메트릭을 이용해 내적을 정의할 수 있음

힐베르트 공간에서 1형식은 브라

민코프스키 공간에서 1형식은 x_mu 로 표현할 수 있음
민코프스키 공간에서 1형식의 기저는 dx^mu 로 대표적으로 grad 가 1형식

기울기는 basis vector 가 아닌 접공간을 통해 임의의 방향으로 정의할 수 있음
대표적으로 국부적 게이지 대칭성을 만족시키기 위해 적절한 기울기를 정의해야함

여기까지는 알겠는데
2형식, 외대수, 쇄기곱, 호지쌍대, 호모토피, 다발은 모르겠노 도저히
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  • lp 갤로그로 이동합니다.

    클래식하게 생각해서 그냥 k-form을 k-dim'l submfld를 R이나 C로 보내는 functional로 생각하는게 가장 이해하기 쉬운듯?

    11.10 22:19:01
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    • lp 갤로그로 이동합니다.

      그러면 skew symmetry는 orientation같은걸로 적당히 이해도 되고

      11.10 22:20:11
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  • ㅇㅇ(211.215)

    John M Lee smooth manifold 책 보세여 나름 잘 나와있다고 생각함

    11.11 02:31:02
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  • ㅇㅇ(61.74)

    n dim 공간 안에서 k dim infinitesimal volume element라고 생각하셈. 그중 elementary alternating tensor 가 k-hyperplane을 결정해주고

    11.11 11:23:08
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    • ㅇㅇ(61.74)

      exterior derivative는 form w에대해서 Lxw(v1,...,vk)를 (X, v1,....,vk)를 먹는 텐서로 봤을 때 순서 바꾸면서 alternation한거. 그니까

      11.11 11:25:08
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    • ㅇㅇ(61.74)

      dw(v1,....,vk+1)=Lv1w(v2,...,vk+1)-Lv2w(v1,v3,...,vk+1)+.......이렇게 된거임(sign틀렸을 수도 있음)

      11.11 11:26:05
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    • ㅇㅇ(61.74)

      코호몰로지 coboundary operator랑 연계해서 생각하면 더 좋음. wedge product는 alt가 그텐서랑 가장 가까운 alternating tensor를 준다고 생각할 수 있고, covector들의 wedge product를 생각했을때 각 covector 방향으로 generate되는 k dim infinitesimal volume element를 wedge product가 줌. 이때 alt convention하고 determinant convention은 k만큼 차이가 나는데 이건 det convention은 parallelopiped의 부피, alt convention은 simplex의 부피를 준다고 생각하면 그만큼 차이나는게 자연스러울듯?

      11.11 11:30:33
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    • ㅇㅇ(61.74)

      cartan magic formula가 위에 식에서 첫번째꺼 + 나머지꺼를 깔끔하게 표현한거임

      11.11 11:33:34
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    • ㅇㅇ(223.62)

      와바로이거였노

      11.11 11:50:44
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    • ㅇㅇ(61.74)

      참고로 Lv1w(v2,....,vk+1)=T(v1,....,vk+1)라고 할때 dw(v1,...vk+1)= Alt(T) * 상수 (아마 k+1분의 1?)이렇게 됨을 보일수 있음. 지금까지 Lxw는 당연히 lie derivative 말하고 있는거