프리드버그 예제를 풀다 생긴 의문입니다. 풀이를 구글링하다 풀이에서 사용한 명제입니다.
If ImT ∩ KerT = {0} then ImT = ImT^2
증명해주시면 감사하겠습니다 ㅠㅠ
ImT^2 <= ImT 인 것은 당연한데, >= 반대방향의 inclusion을 증명을 못했습니다.
If ImT ∩ KerT = {0} then ImT = ImT^2
증명해주시면 감사하겠습니다 ㅠㅠ
ImT^2 <= ImT 인 것은 당연한데, >= 반대방향의 inclusion을 증명을 못했습니다.
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본문대로라면 그런 보장 없음
rank-nullity theorem로 보장됨 dimimT+dimkerT=dimV 이고 imT∩kerT={0} 이니까 가능
Infinite dim'l case 생각하고 말한 거긴 한데, 유한 차원인 경우로 한정하면 네 말이 맞네
일단 T가 정의된 v.sp.가 finite dimensional이어야 성립함; 그렇지 않으면 반례 존재. 그렇다면 T를 im T로 제한한 operator를 S라 하면 im S=im T^2이고, ker S=im T cap ker T=0이므로 im T는 im S=im T^2와 iso. (1st iso. Thm) 그런데 im T가
finite dimensional이고 im T^2이 im T의 subspace이므로 사실 둘이 같음.