[일반] 두 유리수의 합과 곱이 모두 정수이면 두 유리수는 정수임을 증명하라

[익명(124.62)]

어케 하나요 ㅠㅠㅠ

[ultraproduct(ultraproduct)]

Integral element나 integral ring extension을 알면 바로 풀리는데, 이게 원하는 풀이일지는 잘 모르겠내

[익명(124.62)]

ㅠㅠ그냥 중등 경시 수준으로 풀어주세요ㅠㅠ

[ultraproduct(ultraproduct)]

문제의 두 유리수를 r과 s로 두면 x^2-(r+s)x+rs는 r과 s를 근으로 갖는 정수 계수 이차식인데, 이때 이 친구가 가질 수 있는 유리수 근이 +-(상수항의 약수)/(최고차항 계수의 약수) 형태라는 점을 생각하면 해결. 최고차항 계수가 1이니까.

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[ultraproduct(ultraproduct)]

r1r2/mn이 왜 정수인데

[익명(211.44)]

아니라고 가정, 근 하나를 a/b(서로소)로 잡으면 나머지는 n-a/b인데 그럼 b의 소인수분해해보면 a와 (nb-a)의 소인수 분해에는 없는 p가 존재하고 두 근을 곱하면 정수인데 분자는 p의 배수가 아니고 분모는 p(혹은 p^2)의 배수므로 모순

[g*cm/s^2(physics0907)]

<=> Integer ring is integrally closed domain

[익명(223.38)]

rational root theorem 쓰면됨 Q1과 Q2를 근으로 갖는 quadratic equation을 만들수있음 x^2-(Q1+Q2)x+Q1Q2 = 0 Q1+Q2=-Z1 이고 Q1Q2=Z2 니까 x^2+Z1x+Z2=0 이고 rational root theorem 에 의해 Q1,Q2는 Z2의 약수들중 하나, respectively

[익명(223.38)]

좀더 초등수준으로 할거면 두 유리수의 합과 곱이 모두 정수이고 두 유리수가 정수가 아니면 모순을 보이면됨 서로소 p,q에 대해 Q1= q/p , Q2= Z1-q/p p^2×Z2 = q×(p×Z1-q) 으로 정리됨 Z2는 q의 배수, (p×Z1-q)는 p^2의 배수이므로 q는 p의 배수 p,q가 서로소임에 모순

[익명(124.62)]

압도적 감사!