인강강사들이
lim n->inf 루트(n²+2n)-루트(n²+n) 풀때
lim n->inf 루트((n+1)²)-루트(n+1/2)²) 로 간주해서 풀어도 된다고 가르치는데 (증명은 유리화로하고 스킬처럼가르치는듯)
그러면 일반적으로,
3이상의 모든 자연수m과 임의의 실수 A,a_0,a_1,..,a_(m-2)에 대해 저식이 항상성립하냐가 질문
(자연수n 무한대로보내는 극한이아니라 실수x를 무한대로보내는거로로 바꿔도 되겟지? 수열의극한이나 함수의극한이나 이경우는 차이없어보이니,)
설명을하면,
n값을 계속 키우면 (n^m+A*n^(m-1)+sum k=0 to m-2 a_k*n^k)^1/m 와
(n+A/(mC1))^m 과의 오차를 원하는 만큼 0에 가깝게할수 있냐는 거지. (이항정리)
증명은 어떻게해야해?
동치인 식 들고와서 증명은 어케하냐는건 뭔 소리임?? (n+A/m)^m 전개하면 n^m+mC1×n^(m-1)×(A/m) +mC2×n^(m-2)×(A/m)^2 +...+ mCm-1×n^1×(A/m)^(m-1) +(A/m)^m 이니까 이 전개식을 S라고 두면 S^1/m -n = A/m 인데
혹시 임의의 수열 a_k에 대해서 성립함을 보이고싶다는거임?
ㅇㅇ 울프람알파사진보면돼 저런식으로 일반화되냐는거지 - dc App
흠 그럼 binomial expansion 전개해야 할거같은데.. n((1+A/n+a2/n^2+..+am/n^m)^1/m -1) 로 바꾸고 이를 K라고 두면, n((1+A/n)^1/m -1) < K < n((1+A/n+t/n^2)^1/m -1) 형태라 t=a2+a3/n+..am/n^(m-2) 전개하면 n{(1+1/m×(A/n)+1/n^2 형태...) -1}
우측도 n{(1+1/m×(A/n)+t/n^2 형태...+1/n^2 형태+..) -1} 이라 극한보내면 어짜피 1/n 까지만 살아남을거임 따라서 극한값은 n(1+(A/nm)-1) = A/m
am은 임의의 실수라 안되잖아
확장하려면 laurent series + binomial expansion 하던가 해보셈
뭔소린가했더니 임의의 자연수열이 아니고 임의의 실수열이였네 저 위에 n((1+A/n)^1/m -1) < K < n((1+A/n+t/n^2)^1/m -1) 를 n((1+A/n-t/n^2)^1/m -1) < K < n((1+A/n+t/n^2)^1/m -1) 로 하고 t를 given a_k의 max값 ×(m-1)으로 적당히 잡으셈 어짜피 전개방식은 똑같으니까
e-N을 알면 정말 어렵지 않게 정당화할 수 있긴 한데, 고딩 과정으로는 평균값 정리를 쓰는 게 그나마 계산이 적을듯
평균값정리는 어떻게적용해? - dc App
예를 들어 sqrt(n^2+n)-n=n/2sqrt(c)인 c가 n^2+n과 n^2 사이에 존재하니까 n을 무한대로 보내면 우변이 1/2로 감. 그래서 sqrt(n^2+n)-n의 극한이 1/2인 걸 알 수 있고, 귀찮아서 제곱근을 예시로 들긴 했지만 일반적인 경우로도 바로 확장할 수 있겠지
고교 수준에서 할수 있는 방법은 1. 먼저 베르누이 부등식을 증명한다. 미분을 해서 x>0에 대해서 r이 [0,1]안에 있으면 (1+x)^r <= 1+rx이고, r<0이면 (1+x)^r > 1+rx임을 보이고, 2. 그러면 x>0과 자연수 m에 대해서, 1 + x/m - (m-1)x^2/(2m^2) <= (1+x)^{1/m} <= 1+x/m임을 보일수 있음. 우변은 베르누이 부등식에 의해서 자명하고, 좌변은 f(x) = (1+x)^{1/m} - (1 + x/m - (m-1)x^2/(2m^2)) 놓고 미분한뒤 베르누이 부등식을 적용하면 됨.
3. 우리가 원하는 값 (n^m + An^{m-1} + 나머지항)^{1/m} - n은 n(1 + A/n - C/n^2)^{1/m} - n 이상이고 n(1 + A/n + C/n^2)^{1/m} - n이하임. 여기서 C는 적당히 큰 상수로, 예를 들어서 C = (m-1)max(|a_0|,...,|a_{m-2}|)로 두면 됨. 따라서, n(1 + A/n - C/n^2)^{1/m} - n <= (원하는 값) <= n(1 + A/n + C/n^2)^{1/m} - n 을 만족하고, 좌변과 우변에 각각 2를 적용하고 샌드위치 정리를 쓰면 된다.
"좌변과우변에 2를 각각적용"에서 막혓어 다른건다따라왓는데 - dc App
n이 충분히 커지면 A/n > C/n^2이니까, x = A/n - C/n^2와 r = 1/m에 대해서 2를 (1 + A/n - C/n^2)^{1/m}에 적용하면 (1 + A/n - C/n^2)^{1/m} >= 1 + A/(nm) - C/(n^2 m) - (A/n - C/n^2)^2 * (m-1)/(2m^2)을 얻음. 마찬가지로 2를 (1 + A/n + C/n^2)^{1/m}에 적용하면 (1 + A/n + C/n^2)^{1/m} <= 1 + A/(nm) + C/(n^2 m)을 얻음. 그래서 (원하는 값)을 두 부등식 사이에 끼울수 있고, 좌변과 우변은 A/m으로 수렴하므로 샌드위치 정리에 의해서 (원하는 값)의 극한은 A/m임.