[일반] 헤세 판정법 관련해서 질문이잇음

[익명(222.96)]

detA=0이 되는 케이스를 좀 정리해놓고 싶은데

이때의 이차형식 생각해보면 a(x+b/αy)^2로 써지는거잖음?

그럼 a가 양수일때 극소라고 이해하면 될거같긴한데,

저 이차형식이 0이되는경우, 그니까 방향벡터가 (-b,a)가 되는 케이스에는 어케 생각해야하는거임?

저방향 제외했을때는 다증가하고 저방향에서도 작아지지는 않으니까 극소라고 생각하면 되는건가?

a 음수일때는 극소라고 생각하면 되고?

[익명(39.7)]

44444번째글추

[익명(218.50)]

ㄴㄴ 그렇게 이해하면 안됨. 가령 x0에서 임계점(critical point)가 되고 x0에서의 헤시안 행렬을 H라고 할 때, 만약 det H(x0)>0이라면 x0의 근방에서 헤시안 행렬은 모두 0보다 큼. (행렬이 0보다 크다는 건, 모든 고윳값이 0보다 크다는 뜻) 이때 f(x0+v)-f(x0)=1/2*[ v^t H(x0+t*v) v] (즉, x0와 v를 이은 선분 상의 어떤 점 x0+t*v가 존재해서 그 점에서의 Hessian의 evaluation임; 이는 테일러 정리를 쓴 거고.) 이제 det H(x0)>0이라면 아까 말한대로 f(x0+v)-f(x0)>0임을 알 수 있음. 반면, det H(x0)=0이라면 그 근방의 점에서 이차형식이 어떤 상태일 지 아무도 모름.

[익명(218.50)]

det H(x0)=0이라면, 그 근방의 점에서는 이차형식이 (1) 그 점 제외하고 0보다 큰 지점, (2) 그 점 제외하고 0보다 작은 지점, 혹은 둘 다 아닌 지점...이 모두 나올 수 있음. 너가 말한대로 "직선을 따라 이동하는" 경로에서는 아무 문제가 안 생기겠지만, (1)과 (2)를 모두 지나는 곡선의 경로를 잡으면 안장점인 걸 쉽게 보일 수 있음.

[익명(218.50)]

김홍종 미적분학에서는 점 X -> H(X) 로 가는 사상이 연속사상임을 말하고 있음. 이말인 즉슨, "이차형식의 성격"이 연속적으로 변한다는 성질임. 더 깊이 이해할려면 선형대수랑 스펙트럼 정리를 알아야 해서...

[익명(112.160)]

원래 따져줘야할건 H(X0)에 대한 이차형식이 아닌 H(X0+t*v)에 대한 이차형식인데, 정확히 X0에서 detH(X0)>0이 되는 케이스라면 근방을 아주 작게잡아서 detH(X0+t*v)의 부호까지 양수로 유지할수 있는데, detH(X0)가 정확히 0이 되는 경우에는 근방에서 이차형식이 0보다 큰걸로만 나올지 작은걸로만 나올지

[익명(112.160)]

큰놈 작은놈 다나올지는 헤세판정법가지고만 판단할수 없다 정도로 이해하면 되는 부분일까요 형님

[익명(118.235)]

넹 그럼 될듯