일단 해석학 문제는 생각하는 순서랑 논리적 순서가 정반대라는 걸 이해해야 함. 다 delta가 epsilon에 의존해서 잡히게 되는 것 때문인데, 사실 문제는 결국 delta를 찾아야 한다는 점 때문에 생각은 거꾸로 해야 함.
주요 아이디어는 epsilon이 의미하는 바가 결국 오차의 한계라는 점임. 따라서 f(x)와 f(a)의 차이가 어느 정도일지를 관찰하는 것에서 문제를 다루는 게 시작됨. 보통 이 부분을 잘 알려주는 경우가 없기 때문에 어려운 것. 따라서 핵심 아이디어는 이 차이를 잘 estimate하기 위해 난리를 치는 것임.
쉬운 예시부터보자. x^2이 x=a에서 연속임을 보여야함. 이를 위해서
x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)
를 먼저 살펴볼 것임. 어차피 모든 건 a 주변에서만 잘 다루면 되기 때문에 a 주변만 생각할 것임. 그래서 a를 중심으로 반경 1의 구간을 생각함. 그러면 -1 + a < x+ a < 1+a일 거고 따라서 x+a의 절댓값은 1+ |a|보다 작거나 같을 것임. 그러므로 우리는 다음 부등식을 얻게됨
|x^2 - a^2| <= (1+ |a|)|x-a|
이제 delta 잡는 건 껌임. 직접 해보셈.
좀 더 어려운 예시를 보자고. 가령 sqrt(x)가 x=a에서 연속인 걸 보여보자. 그럼 마찬가지 아이디어에서 sqrt(x)와 sqrt(a)의 차이를 조져야 함. 여기서 마땅한 아이디어를 생각하는 게 되게 중요하다.
해볼 수 있는 건 유리화임.
sqrt(x) - sqrt(a) = (x-a)/(sqrt(x) + sqrt(a))
임. 위와 같은 아이디어에서 분모를 적당히 bound 시켜야 함. a가 0이 아닌 경우, 그렇게 어렵지 않음. 문제는 당연히 a가 0일 때인데, 왜냐면 그러면 1/sqrt(x)가 0 근처에서 엄청 커질 거기 때문. 그러니 이 경우는 극한의 정의를 이용해서 커버하면 됨. sqrt(x) < e가 x < e^2이기 때문에, 정의를 이용해서 커버하는 게 그리 어렵지 않음.
결국 f(x) - f(a), 즉 오차를 잘 control할 수 있으면 증명은 끝난다. 이걸 control하는 일반적 테크닉은 없는데, 결국 해석학에서 주구장창 익히는 게, 바로 이에 관한 것임. 미분가능한 함수의 경우, 평균값 정리를 쓰는 게 상당히 유용하고, 산술-기하평균 부등식이나 베르누이 부등식 등 다양한 기초 부등식들도 그래서 중요한 테크닉임.
그리고 이 아이디어는 해석학 전반에서 다 나타남. 수열의 극한, 균등연속, 평등수렴, 심지어 측도론에서 적분가능함수 근사하는 것까지.
도움이 되었길 바람.