모든 실수 x에 대하여
ax³+bx²+cx+d=0이면 a=b=c=d=0임을 증명하여라
라는 건데..
제 풀이는 이래요
모든 실수 x에 대하여 성립하는 항등식이므로
아무 특정실수를 대입해도 성립해야한다.
따라서
x=0대입 => d=0
ax³+bx²+cx=0
<=>
x(ax²+bx+c)=0
ax²+bx+c=0에 x=0 대입 => c=0
ax²+bx=0
<=>
x(ax+b)=0
ax+b=0에 x=0 대입 => b=0
ax=0
x=1 대입 => a=0
따라서 a=b=c=d=0
이거왜틀린건가요..,
ㅠㅠ
- dc official App
두번째 식에서 x가 0이면 뒤의 2차식이 0이 아니어도 우변은 0임 - dc App
모든실수x에대하여 ax³+bx²+cx=0 이다와 모든실수x에대하여 ax²+bx+c=0 이다가 동치아닌가요??그래서 2번식도 x=0대입가능하지않아요?왜안되나요 ㅠ - dc App
동치는 맞는데 규명을 해야지. 너가한건 동치니까 대입해서 동치임을 밝힌거라 순환논증임
인수분해했잖아 그럼 x=0 or ax^2+bx+c=0이니모든 경우를 다 따져야지 넌 and인 경우만 따졌기 때문에 나머지 경우에서 반례가 발생함 둘 다 0인 경우 , 왼쪽만 0인 경우, 오른쪽만 0인 경우 - dc App
모든 실수 x에 대해 ax^2+bx^2+cx+d=0이랑 동치인 명제는 x가 0이면 d가 0이므로, x(ax^2+bx+c)=0 이고 이거랑 동치인 명제는 x=0 또는 ax^2+bx+c=0임 둘 중 하나가 0이거나 둘 다 0인 경우가 있는데 넌 둘 다 0이라고 가정하고 풀었기 때문에 틀렸음 - dc App
요약하면 좌변의 두 항이 모두 0이면 우변도 0이지만 역으로 우변이 0이라고 해서 좌변의 두 항이 모두 0일 의무는 없음 동치라는 건 양방향으로의 명제가 모두 참이어야 그때 동치라고 하는 거임 - dc App
고1이니까 왜 동치인지 설명이 더 필요할듯
ax3+cx=-bx2-d인데 좌변은 기함수 우변은 우함수라서 같을 수 없어요 - dc App
다른 풀이로는 -1 0 1을 대입 후 연립해서 b d가 0임을 찾고 2를 대입해서 a c가 0임을 알 수 있어요 - dc App
x(ax²+bx+c)=0 ax²+bx+c=0에 x=0 대입 여기서부터 비약함 x(ax²+bx+c)=0는 ax²+bx+c=0 또는 x=0을 뜻하는데 님은 ax²+bx+c=0 이라고 가정하고 x=0 인 경우만 보여줬으므로 ax²+bx+c=0 이고 x=/=0, ax²+bx+c=/=0 이고 x=0인 경우를 추가로 보여줄 필요가 있음
이렇게 복잡하게 하기보다는 모든 실수 x에 대하여 ax³+bx²+cx+d=0 니까 x=0 대입하면 d=0, x=1 대입하면 a+b+c=0 x=-1 대입하면 -a+b-c=0 x=2 대입하면 8a+2c=0 a=b=c=d=0 이렇게 연립방정식 푸는게 고딩수준에서 쉬울듯