[대학교이상] 해석학 증명 평가 부탁드립니다.

[익명(39.7)]

실수처럼 연속적이지 않아서 수학적 귀납법을 사용했는데, 맞게 했는지 아리송해서 질문 드립니다.
자연수 집합이 upper bounds를 가지지 않음을 보이는 것이 문제입니다.


감사합니다.

[익명(39.7)]

혹시 최댓값이 없어도 상한은 존재할 수 있으니 틀린 것인가요? 그렇다면 Archimedean property로 인해 upper bound가 존재하지 않는다고 하면 증명이 될 수 있을까요?

[익명(211.36)]

보통 아르키메데스 성질 증명할때 상계가 아님을 증명하니까 아르키메데 성질을 통해서 보이는건 별로일듯

[익명(211.36)]

상계가 자연수 사이에 존재할 수 없음을 보인거 아님?

[익명(39.7)]

헉.. 그럼 상계가 자연수 사이에는 없고, 임의의 n에 대해 n+1도 자연수 집합에 속하니 upper bound는 없다고 하면 될까요?

[익명(211.36)]

아닌듯, 더 생각해보세요

[익명(211.36)]

완비성 써서

[익명(39.7)]

sup N=s 라고 하자. N은 R의 부분집합이고, 실수의 완비성으로부터 부등식 s-1<=n<s (s는 실수) 인 자연수 n이 집합 N에 존재한다. 이때, 자연수의 공리로부터 n+1도 집합 n에 존재한다. 이는 sup N=s 에 위배된다. 따라서 자연수 집합은 upper bounds를 갖지 않는다.

[익명(39.7)]

완비성에 귀류법을 쓰면 이렇게 할 수 있을 것 같습니다.

[익명(39.7)]

부등호는 s-1<n<=s 로 바꿔야 하네요..

[익명(211.36)]

네. 그리고 보통 자연수집합이 위로 유계가 아님을 그렇개 증명하고 이를 통해서 아리키메데스 성질을 증명하는 것으로 알고 있습니다.

[익명(39.7)]

감사합니다.

[익명(218.155)]

한 번에 귀류법 써라. upper bound M이 있으면, archimedean property에 의해 M < n인 자연수 n이 존재. 모순. 끝. - dc App

[익명(39.7)]

귀류법이 있었네요.. 감사합니다.