[중고딩문제] 로그 합성함수의 적분에 대해 질문이 있습니다

[익명(118.235)]

고등학교 교육과정 내에서 f(t)<=0인데 g(x)가 정의되는 케이스가 있는지 아니면 고등 교육과정에서는 무조건 f(t)>0 이라고 생각하고 풀어야 되는지 궁금합니다

[익명(110.76)]

고등학교랑 상관없이 f가 0보다 작아지는 영역이 있으면 말이 안되는데 절대값 붙여야됨

[익명(118.235)]

그러면 f(x)>=0인 경우에는 g(x)가 실수 전체 집합에서 정의되는 케이스가 있나요? f(x)에 절댓값 붙였다고 가정하고 f(x)가 0이어도 g(x)가 그 점에서 정의될 수 있는지 궁금합니다

[익명(211.36)]

lnf가 구간 [a, x] 또는 [x, a]의 거의 모든 점에서 연속이면 lnf는 그 구간에서 리만적분(정적분을 의미함) 가능함. 그러니까 저 함수 g가 모든 x에 대해 정의될 수 있음. 하지만 고등학교과정에서는 리만적분가능성에 대해 배우지 않기 때문에 피적분함수는 무조건 연속으로 줘서 적분가능성을 보장해줌.

[익명(211.36)]

빠뜨렸는데 적분가능성을 보장하려면 lnf가 유계함수라는 것도 필요함. 추가로 거의 모든 점에서 연속이라는 것은 불연속점의 측도가 0임을 의미함. 그러니까 f가 다항함수의 절댓값이면 lnf는 적분가능한 거임. 나도 고등학생이라 틀린 부분이 있을 수 있는데 알아서 잘 걸러들으셈.

[익명(118.235)]

2번째 댓글에서 f가 다항함수의 절댓값이면 lnf가 적분 가능하다는 말은 리만적분까지 따졌을 때 적분 가능하다는 뜻인가요 아니면 고등 교육과정에서도 적분 가능하다는 뜻인가요? 전자를 말하신거 같긴 한데 확실히 하기 위해 질문합니다

[익명(118.235)]

그리고 고등학교 과정에서 피적분함수를 무조건 연속으로 줘서 적분가능성을 보장해준다면 고등학교 과정 내에서는 피적분함수 lnf에 불연속점이 하나라도 있다면 적분이 불가능하다(=g(x)가 모든 실수 x에 대해 정의되지 않는다)고 봐도 되나요?

[익명(211.36)]

적어도 내 기억상으로는 교육과정에서 적분(정적분)을 정의하지 않음. 그래프 아래의 면적이라는 기하학적 의미만 설명할 뿐임. 그래서 리만적분이 교육과정에서의 적분을 포괄하는 개념으로 생각하면 되고 리만적분과 동치가 아닌 적분(예를 들어 르베그 적분)들이 존재하지만 보통 적분이라고 하면 리만적분을 의미할거임.

[익명(211.36)]

교육과정에서 연속이라는 조건을 줘서 적분가능성을 보장한다는 말은 말그대로 해석하면 됨. lnf에 불연속점이 있다면 혼동을 줄 수 있기 때문에 아마도 f>0을 주면서 그러한 가능성을 배제할거임. 만약에 불연속점이 있게 준다면(어떤 의도로 낸건지 모르겠지만) 적분가능하다고 생각하고 푸는게 맞을듯

[익명(211.36)]

유계인 함수가 리만적분가능한 것과 동치는 그 함수가 거의 머든 점에서 연속인 것임. 유계가 아닌 함수는 리만적분불가능함. 여기서 유계성에 대한 조건 없이 [a, b]에서 연속이라는 조건만으로 리만적분가능성을 보장할 수 있는 이유는 [a, b]에서 연속이면 [a, b]에서 유계이기 때문임.

[익명(211.36)]

근데 리만적분하려면 그 구간의 모든 점에서 함숫값이 정의되어 있어야할텐데... 이거는 더 찾아봐야할듯

[익명(211.36)]

리만적분의 정의상 lnf가 정의되지 않는 점이 있으면 안 될듯. 대신 f=0일때 lnf=0이라 정의한다거나 하면 적분가능함.

[익명(106.101)]

고등과정에서 lnf라고 쓰는 순간 f>0이 정의된다 보면 돼.비슷한 논리로 sqrt(f)이면 f>=0이라고 쓰고 시작하면 됨.

[익명(106.101)]

저 문제의 경우 g가 실수전체에서 정의돼니까 f는 짝수차함수 거기에다가 모든 실수에서 양수라는 걸 알 수 있음=최고차항의 계수 양수,근이 존재하지 않는다 까지 끌어낼 수 있지