지금 보고있는 text는 https://faculty.math.illinois.edu/~schenck/cxarr.pdf 입니다.
Hyperplane arrangement A 란 C^n 에서 원점을 지나는 hyperplane들을 모아놓은 set입니다.
이때 M(A)는 A안의 hyperplane들의 합집합의 complement입니다.
처음 네 줄은 M(A)의 topology에 대해 얘기하고있습니다. (유클리디안 토폴로지를 생각합니다.)
1. M(A)는 path-connected다. 따라서 fundamental group은 base point의 choice와 무관하다
2. M(A)는 connected, finite CW-complex homotopy type을 가진다.
1. 의 path-connectedness는 그리 어렵지 않을 것 같습니다.
그러나 2. 는 증명이 없음에도 너무 당연한 fact처럼 가져옵니다. 혹시 2의 증명이 담긴 레퍼런스같은게 있을까요?
* 구글링해보니 milnor fiber나 morse 이론이 관계있는것처럼 보이지만, 초보인지라 잘 모르겠습니다.
제가 빡대가리인가요? hyperplane다 모았는데 왜 전체가 안나와요?
제가 정확히 안적었네요... 모든 hyperplane들을 모아놓은 것이 아니라, 적당히 몇 개의 hyperplane들을 모아놓은 것이 A입니다.
적당히 몇 개 -> 유한개의
복소수여서 그런건가? 실수의 경우 connected도 안되는거 맞죠?
그렇죠 조각조각난 굉장히 trivial한? 녀석이 될 것 같네요
네.. complex hyperplane이라서 real codimension이 2이니까요..
아 제가 빡대가리가 맞네요. 일단 CP^{n-1}에서 유한개점 뺀거 라고 찍어보겠습니다. 그럼 CW구조 가지는건 확실해질텐데..
http://www.ams.org/journals/proc/2002-130-09/S0002-9939-02-06412-2/S0002-9939-02-06412-2.pdf
Morse Theory가 말해주는게 smooth manifold는 CW구조를 가진다는건데, 저게 smooth mfd라는거만 보이면 되겠네요. 근데 저는 뭔가 그림이 전혀 상상이 안되서..
Alexandru Dimca의 Hyperplane arrangements - an introduction 책은 상당히 친절하네요.
해당 책의 4장을 봐보면 될까요?
본문에서 말씀하신대로 Milnor의 Fibration theorem 쓰면 되긴 해요. (Milnor의 Singular points of complex hypersurfaces 교재 참고) Defining polynomial Q(A)가 M(A)에서 C^*로 가는 fibration이 되고, 각 fiber가 finite CW complex와 homotopy type이 같게 되거든요. 다만 이런 내용을 사용하지 않고 우회하는 방법은 글쎄요..
smooth manifold인거야 open subset이니까 그냥 되는건데, 그냥도 뭐 그냥 그림상 당연하다고 말하는게 젤 나아보이는 기분이... homotopy type이랬으니까 그냥 radial하게 contract시켜서 S^n - codim 2개로 둔담에, 빠진점들이 다 이제 떨어져있으니까 주변으로 조각조각내면 안되나 싶은데... 내가 뭐 착각한거 없으면
아니구나 그래도 빠진점들이 disconnected는 아니네.. 그럼 그냥 귀납법 가야겠다.
원점 지나는 hyperplane들로 이루어진 CW complex 하나가 있을때 또다른 hyperplane 하나를 취하고 그걸 빼내도 다시 CW structure가 된다고 귀납법 가봐.. 다른 structure 쓸수도 있겠지만 이게 계산하기 쉬울거같다.
오버킬하는것처럼 보이지만 결국 Milnor fibration thm이나 Lefschetz-type theorem을 쓸수밖에 없을듯.. 이 두 정리에 익숙한 사람이 보기에는 자명한 결론이라서