질문 자체는 munkres 다양체 책 공부하다가 나온 질문이긴 하지만, 이 책 안보는 사람이 더 많으니 질문을 순화하자면..
특이적분은 일반 적분과 다르게 열린집합 위에서 극한을 이용하여 정의하잖음?
근데 공부하다보니까 하나의 열린집합 위에서 일반적인 리만적분을 시도할수도, 극한으로 특이적분을 시도할수도 있어서
뭔가 특이적분을 위한 표기법이 필요한 상황이 됐는데
책에서는 어떻게 구분하냐면
(ordinary) int_어쩌구
(extended) int_어쩌구
이런식으로 앞에 괄호를 붙여서 길게 적어놓더라고..
그래서 이런 질문이 필요하게 됐음.
(더 자세한 사정은 블로그 쓰는데 책처럼 하면 인터넷수식이 불편하게 돼서..)
질문 요지를 잘 모르겠음 (a,b) 위에서의 적분과 [a,b] 위에서의 적분을 구분하고 싶단 거임?
(a,b) 위에서의 리만적분과 특이적분을 구분하고 싶다는 말임. 사실 munkres 책이 그렇게 표준적인 개념을 실어놓은것만은 아닌 것 같아서 제대로 납득이 될지는 모르겠는데, 일단 말하자면 열린집합 위에서 적분을 하는 방법이 두 가지가 있음. 우선 일반적인 리만적분은 rectangle 위에서 정의하는데, 유계집합으로의 적분의 확장을 정의하는 방식은 함수의 자명한 확장(정의역 밖의 값을 모두 0으로 확장)과 유계집합을 포함하는 rectangle 위에서의 일반적인 리만적분을 빌어 정의함. 이렇게 확장된 의미의 일반적인 리만적분을 이용하면 열린집합에서도 적분이 가능함. 한편 이 외에도 열린집합에서 적분을 정의하는 다른 방법이 있는데, 이는 흔히 알려진 극한을 이용한 적분.. 정도로 일축하겠음.
아무튼 결론은 열린집합 위에서 정의되는 적분이 두 가지가 생겨버리는데, 이 두 적분은 적분가능성이 조금 달라서 동치가 아님. 적분값도 같음을 따로 증명해줘야 아는 상황이고.. 그래서 구분이 필요한 상황이 종종 생기는데, 원래 리만적분은 그냥 적분기호로 쓰면 되는 상황에 극한을 이용한 특이적분을 따로 표기하는 표준적인 방법에 대한 질문이 요지임.
아직도 잘 모르겠는데.. 어차피 bounded function이면 뭘 어떻게 정의하든 값이 같을테니 문제가 없고, unbounded function은 애초에 특이적분 말고는 리만적분을 제대로 정의할 수가 없으니 헷갈릴 여지도 없을텐데
아 그런 상황이면 딱히 표준적인 노테이션은 없음. 사실 그런 적분가능성같은 사소한 문제들 때문에 르벡적분을 쓰는 게 더 낫긴 함
아쉽지만 답변해줘서 고마워
아니면 f의 확장을 f~같은 다른 기호를 써서 f~의 적분으로 표기하는 게 제일 깔끔할듯?
책에 나타나는 서로다른 두 적분은 동일한 함수, 동일한 정의역에서 정의 가능해서 함수의 확장과는 크게 관련이 없음
p.v.라고 조화해석학에서 자주 쓰는 기호 있음~
위키 참고해보셈
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_principal_value
제가 내용을 잘 읽은게 맞다면 지시하는 대상이 조금 다르긴 한데, 그래도 감사합니다. 정 없으면 페이지 하단에 나와있는 표기법을 쓰던가 해야겠네요