수열의 극한에서 꼭 극한 값과 수열 항의 차이가 엡실론일 필요는 없고, 0에서의 극한이 0인 엡실론의 함수여도 된다는 것을 증명하라는 문제이다. (단 치역이 양수)
본 책에서는 이런 문제를 풀 때 친구들을 만들라고 했다.
먼저 if를 증명한다.
값 a를 주면 [phi(eps)<a] 를 보장하는 [eps<b] b를 주는 친구 연이가 있다.
값 c를 주면 [|an-a|<phi(c)]를 보장하는 N을 주는 친구 민이가 있다.
내 일은 값 d를 받아서 [|an-a|<d]를 보장하는 N을 제공하는 것이다.
값 d를 연이에게 줘서 b를 받는다. 이제 [eps<b]이면 [phi(eps)<d]이다.
값 (bΚ)를 민이에게 주고 N을 받는다. 이제 [|an-a|<phi(b/2)]이다.
연이의 작업은 [|an-a|<d]를 보장한다.
나는 민이에게 받은 N을 제공한다.
다음으로 only if를 증명한다.
이번에는 친구가 한명이면 된다.
값 g를 주면 [|an-a|<g]를 보장하는 N을 주는 친구 웅이가 있다.
내 일은 값 h를 받아서 [|an-a|<phi(h)]를 보장하는 N을 제공하는 것이다.
h를 함수에 대입해본다. phi(h)=i이다.
i/2를 웅이에게 주고 N을 받는다. 이제 [|an-a|<i/2<i=phi]이다.
나는 웅이에게 받은 N을 제공한다.
문제출처-John H. Hubbard and Barbara Burke Hubbard. The 5th edition of Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms: A Unified Approach. Matrix Editions, November 2015. 104쪽 문제 1.5.11
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