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닫힌 부분집합은, 열린 부분집합의 여집합으로 정의된다. 본 책에서는 닫힌 부분집합을 정의하는 다른 명제를 소개하며 이를 증명해보라고 한다.


모든 항이 C에 속하는 수열이 a0로 수렴한다. 모든 그런 수열이 C에 포함되는 점으로 수렴하면, C는 무언가의 닫힌 부분집합이라는 것이 위 명제이다. 닫힌 부분집합에 관해서 내가 이미 알고 있는 정보라고는 열린 부분집합의 여집합이라는 것 뿐이기에, 여집합을 풀이에 적극 활용해야 한다. 먼저 C의 여집합을 D라고 하면 위 명제를 이렇게 만들 수 있다. 모든 C에 속하는 수렴 수열이 D에 포함되지 않는 점으로 수렴하면, D가 열린 부분집합이다. 이 명제의 대우는 다음과 같다. D가 열린 부분집합이 아니라면, D에 포함되는 점으로 수렴하면서 모든 항이 C에 속하는 수렴 수열을 찾을 수 있다. 이것을 증명하면 본 명제를 증명하는 것이다.



D가 열린 부분집합이라는 것은, D에 속한 모든 점 d에 대해, 어떤 d 근처가 D에 속하면 된다. d를 중심으로 충분히 작은 원을 그리면 그 원 안은 모두 D에 속한다. 그러면 D가 열리지 않았다는 것은 어떤 점 d에 대해, 모든 d 근처에 C의 원소가 있어야 한다. 어떤 d 근처에 C의 원소가 없는 순간 열린 부분집합의 조건을 만족하게 된다. 모든 근처에 C의 원소가 있는 점 d를 delta라고 이름 붙인다. delta 주위로 반지름이 epsilon, epsilon(1/2), epsilon(1/4)... 인 원을 잡는다. 원의 반지름으로 이뤄진 위 수열은 등비수열로서, 0으로 수렴하는 수열이다. 모든 원에 대해 원 안의 적어도 한 점은 C의 원소이므로, 수열의 각 항을 원 안에 포함되는 C의 원소 하나로 대체해서 수열 Cele1, Cele2, ...을 구성한다. 이 수열에서 N번째 보다 더 나중의 항들은 모두 delta와의 거리가 epsilon(1/2)^N 보다 짧다. 문제 1.5.11에서 밝힌 바에 따르면 이는 수열이 delta로 수렴한다는 것과 동치이다. 그러므로 D가 열린 부분집합이 아니라면, C의 원소로 구성되고 D에 포함되는 점으로 수렴하는 수열은 존재한다.



---수정 전 마지막 문단: 수열의 구성을 좀 더 명확하게 바꿈---

D가 열린 부분집합이라는 것은, D에 속한 모든 점 d에 대해, 어떤 d 근처가 D에 속하면 된다. d를 중심으로 충분히 작은 원을 그리면 그 원 안은 모두 D에 속한다. 그러면 D가 열리지 않았다는 것은 어떤 점 d에 대해, 모든 d 근처에 C의 원소가 있어야 한다. 어떤 d 근처에 C의 원소가 없는 순간 열린 부분집합의 조건을 만족하게 된다. 위 조건을 만족하는 d를 delta라고 이름붙인다. delta를 중심으로 반지름이 epsilon인 원을 그려보면, 그 안에는 C의 원소가 있다. C의 원소와 delta와의 거리를 gamma라고 하고, gamma를 내림차순으로 나열한다. 그러면 gamma로 0으로 수렴하는 양항수열을 만들 수 있다. 그런데 모든 gamma에 대해 적어도 C의 원소 하나를 배정할 수 있다. 그렇게 배정하면 C의 원소로 이뤄지고 delta로 수렴하는 어떤 수열을 만들 수 있다. 이렇게 본 명제를 증명했다.


문제출처-John H. Hubbard and Barbara Burke Hubbard. The 5th edition of Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms: A Unified Approach. Matrix Editions, November 2015. 104쪽 문제 1.5.13