[일반] 그로센딕 그룹 이거 무슨의미가 있는거임

[익명(106.101)]

랭 free abelian group으로 만드는걸로 예시로 나와잇는데 뭔가 중요한건가

[TQFT(lemonkx)]

monoid에서 abelian group을 구성할 수 있다는 데에 기초적인 의의가 있고, 그보다 더 중요한 건 "stably isomorphic"이라는 개념을 Grothendieck completion을 통해 얻을 수 있다는 것.

[TQFT(lemonkx)]

대표적으로 comm. ring with unity R이 주어졌을 때 finitely generated projective R-module의 isomorphism class을 다 모아놓으면 direct sum에 의해 monoid를 이루는데, 여기에 Grothendieck completion을 취하면 R의 K-theory라는 걸 구할 수 있고, 기하학에서 중요한 대상임.

[익명(182.216)]

구성한다는 말은 universal property를 말하는거 맞지? 그거 말곤 set이랑 똑같으니까 뒤엔 먼지모르겟네

[익명(182.216)]

ㄱㅅㄱㅅ

[TQFT(lemonkx)]

universal property가 존재하긴 하지만 구성한다는 말 자체엔 그렇게 거창한 게 없는데... 그냥 만들어낼 수 있다는 거임

[익명(106.101)]

좀 러프하게 설명하자면 저렇게 얻어낸 K theory는 어떤 ring위에서의 fin. gen. proj. module들이 어떤 타입의 dimension을 가질 수 있는지 알려줌. 예를 들어서 R이 field라고 했을때 이 module들은 전부 벡터공간이 되고 isom. class들을 모아놓으면 자연수가 되고

[익명(106.101)]

거기에 grothendieck completion을 하면 정수가 나옴.

[익명(106.101)]

여기서 ring of continuous functions같이 차원조건이 까다로워지는 애들을 집어넣으면 실수체가 나와버림. 또 Serre Swan theorem이라는 재밌는 결과도 있으니 흥미있으면 더 찾아봥~