스튜어트 문제임.
어떤 갤러가 C가 simple closed이고 F가 conservative이면 원점에서 불연속 여부와 관련없이
Fundamental Theorem of Line integral 에 의해 적분값은 0이 된다고 했는데,
내가 생각해도 그럴거같거든?
선 위에서 적분하는거면 선 위에서는 불연속인 지점이 없으니까...
근데 솔루션 보면 답이 0이 아니고 (보존벡터장 확실히 맞음)
실제로 나도 저 안에 원 하나 우겨넣은 다음에 원바깥 C안쪽 영역에 대해 그린정리 써보고
그 다음 원에서 선적분값 빼주면 0 안나옴.
왜 그런거임? 내가 뭐 놓치고 있는게 있는건가
저게 왜 conservative임
분모 고려하면 보존벡터장인거 확실함. 솔루션에서 Qx=Py라고 나오고 내가 계산해도 그럼
정의를 잘못 알고 있나본데 네가 말하는건 closed form이고 comservative는 potential function이 있는 걸 말하는거임
스튜어트에서 Py=Qx이면 반드시 conservative라고 정리로 줌. 저 벡터장은 Py=Qx야.
그 정리의 가정을 잘 보면 곡선이 simply commected domain 안에 있어야 한다는 내용이 있지 않니
저 곡선이 심플 커넥티드가 아니야? 그냥 교차하지 않고 쭉가서 닫히면 심플클로즈드인걸로 아는디..
다시 한번 얘기하지만 F의 도메인에 구멍이 나있어서 심플커넥티드가 아님
곡선이 simply connected여야 하는 게 아니라 곡선과 벡터장이 어떤 simply connected region에 들어가야 한다고
고마웡
그리고 simply connected랑 곡선에서 말하는 simple이랑 전혀 다른거고
simply closed : 구멍이 없어야 함
도메인에는 구멍이 없고 F의 정의역에 구멍이 나는거고 그 구멍을 C가 포함하고 있을 뿐인거 아님? 어차피 적분은 선에서 하잖아
F의 potential 함수 f가 도메인에서 제대로 정의되지 않아서 저 영역에서 실질적으로 항상 F의 포텐셜함수가 된다할수 없어서 생기는 문제임
고마웡
Py=Qx이면 conservative이 되는건 simply connected일때 만족하는 정리임 ㅇㅇ 저게 일반적으로 되면 현대 수학에서 할 일이 1/10으로 줄어들듯
그렇구만... 고마웡
실제로 저거 푸는방식이 원점 근처에서 존나작게 빵꾸뚫어서 multiply connected로 만들고 그 mcd에서 그린정리 쓰면 적분도 0이되니까(이건 책에 설명돼잇음) 원에서의 선적분으로 바뀌고, 원에서 하는건 선적분 정의쓰면 아마 2π곱하기 머시기로 나올거임
R^3\{0,0,0} : simply connected, R^2\{0,0} : not simply connected 외워라 - dc App