문제1) X가 compact Hausdorff space 일때 X가 locally metrizable 하면 metrizable ? 출처 문크리스 34장 연습문제

sol) 일단 compact Hausdorff가 countable basis를 가지면 metrizable 하니까 X가 countable basis를 갖는지 체크해보자

locally metrizable 하므로 X의 각 점 x 마다 metrizable한 nbhd가 존재한다. 이걸 u라고 하자.

X는 Hausdorff locally compact 이므로 x의 nbhd v가 존재한다 st v의 closure은 u에 포함되고 compact 하다.

u가 metrizable 하므로 v의 closure은 Hausdorff compact metrizable 이다. 따라서 second countable 이고 v도 또한 second countable이다.

이러한 v들을 전부 모으면 X의 opencover가 된다. finite subcover 을 {Vn} 이라고 하자.
X는 finite union of Vn 으로 쓸수 있다.

Vn 각각의 countable basis를 Bn 이라고 하자

B=finite union of Bn 은 countable이다. 이게 X의 basis인지 확인해보자

X의 임의의 open set E을 뽑자. E의 원소 x 는 어느 Vn에 포함된다 (cover 이기 때문에)

E 와 Vn 의 교집합은 Vn에서 open이다. 따라서
E 와 Vn에 포함되고 x를 포함하는 Vn의 basis element가 B에 존재한다.

따라서 B는 X의 basis다.

X는 compact Hausdorff second countable 이므로 metrizable이다.


그냥 종이에 적고 사진찍는게 나을듯 한문제 더 올릴려고 했는데 힘이 없다