예전에 여기에 그런 방법이 뭐가 있을지 질문했었는데, 댓글에 누가 "베르누이 부등식이 생각이 난다" 라고만 달아줬었음.
그러고 그냥 잊고살다가, 생각나서 검색해보니까 베르누이 부등식 정말 살짝 응용해서 증명하는게 있더라
https://math.stackexchange.com/questions/504663
이것보다 더 세련된 증명은 없을듯.
참고로 모든 실수에서 e^x>x 가 성립한다는 성질은 munkres manifolds 에서 partition of unity 의 존재성에 대한 증명의 발단에서 사용됨.
이런 류의 질문은 결국 지수함수를 어떻게 정의할거냐에 따라 어느 답변이 더 간단한지가 나뉘는 거라 큰 의미가 없음. 지수함수를 거듭제곱급수로 정의했다면 저 증명은 실제론 꽤 복잡한 증명에 속하겠지 (지수함수가 저 극한과 일치한다는 사실을 모르니까).
생각해보니 그건 그렇네요..
신기하긴한데 솔직히 줫도의미없어보이는데.... 차라리 e^x > T1(x) 가 더 세련된 방법 아닐까??
T1 이 뭐임?
테일러급수의 1항까지의 합
베르누이 부등식으로 증명하는 방법 이전에 노트에 그걸로 적어놨었음. 근데 굳이 따지자면 테일러급수도 따로 증명해야하는거라, 제로부터 따지면 베르누이가 좀 더 빠르지 않을까? 아닐수도있음
제로부터 따지는건 의미없다고 생각해서... 그리고 나는 개인적으로 저 식을 '임의의 n에 대해서 e^x > Tn(x) (n홀짝에따라 x>0 x<0 바뀜)' 이 정리의 일부로 받아들였을때 더 의미있게 받아들였어서 하는말임... 물론 내 생각이긴해
그렇게 했을때 좀더 확장성이 있어보이기는 하는데, 내가 하려했던건 munkres manifolds 에서 어떤 함수의 clsss 가 C^infty 임을 보이는 과정에서 저 성질이 가자기 튀어나와서, 최대한 거추장스럽지 않게 증명과정에 저 것이 성립하는 이유만 최대한 적은 인용으로 증명하고싶었음. 그리고 별개로 나는 추상대수학 강의의 초반에 하는것처럼 무언가가 성립하는 이유를 찾을 때 최대한 필요없는 부분을 제하는걸 선호하고 그게 아름답다고 느끼는 이상한 성격이 있어서 더 그런거같음