다음 두 가지 사실은 기하학/위상수학에서 기초적으로 사용되는 사실들이다.


1. Higher homotopy group π_n (n>=2)는 abelian group이다.

2. topological group의 fundamental group은 abelian group이다.


각각의 증명도 매우 간결하다.


1의 증명) Hatcher 책의 standard diagram으로부터 자명하다.


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이 증명을 처음 보는 사람들을 위해 부연설명을 좀 하도록 하자. (그림은 n=2를 모델하고 있다.)

f와 g가 π_n(X,x_0)의 두 원소의 representative, 즉 some continuous maps S^n->X이라고 하자.

S^n이 D^n의 boundary를 한 점으로 collapse시킨 공간이라는 데에서 착안하여, f와 g를 boundary로의 restriction이 constant map at x_0인 continuous maps D^n->X으로 생각할 수 있다.

이제 D^n을 반으로 갈라서 왼쪽과 오른쪽 part를 D_1과 D_2라고 하자. reparametrizing을 통해 f를 D_1에 g를 D_2에 구겨넣은 map S^n->X를 생각할 수 있고, 이 친구의 based homotopy class가 π_n(X,x_0)에서 f와 g의 연산의 결과인 f+g로 정의된다.

그런데 n>=2면 D^n엔 "적당히 여유로운 공간"이 존재하기 때문에, 그림과 같이 f와 g를 "빈 공간을 통해 돌리는 homotopy"를 생각하면 f와 g의 역할을 바꿀 수 있다. 즉 f+g와 g+f는 homotopic map이고, 둘은 π_n(X,x_0)에서 같은 원소를 나타낸다. (증명 끝)



2의 증명) G를 topological group, α와 β를 π_1(G,g)의 두 원소의 representative, 즉 some continuous maps [0,1]->G with α(0)=α(1)=β(0)=β(1)=g라고 하자.

G가 topological group이므로, G의 연산 *_G을 이용하여 (s,t)를 α(s) (*_G) β(t)로 보내는 continuous map H:[0,1]x[0,1]->G를 생각할 수 있다.


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이제 위에서 RGB색으로 represent되는 3개의 loop based at g in G를 생각할 수 있다.

정사각형 안에서의 당연한 deformation에 의해 3개의 loop는 모두 homotopic rel basepoint이고, 따라서 π_1(G,g)에서 같은 element를 나타낸다.

그런데 빨간 경로는 α와 β의 concatenation이고 파란 경로는 β와 α의 concatenation이다. 따라서 π_1(G,g)는 abelian이다. (증명 끝)



두 증명을 보고 나니 어떤 공통점에 눈에 밟힌다. "한 쪽에서 다른 쪽으로 갈 수 있을만큼 충분한, 최소 2차원의 공간이 필요하다는 것"을 필수적으로 사용하고 있다는 점이다. (첫 번째 증명이 일반적인 π_1에선 왜 안 먹히는지 생각해보자!)


그런데 놀랍게도 (혹은 놀랍지 않게도?) 이 "2차원의 여유로운 공간"에 대한 categorical implementation이 있다.


Theorem. (Eckmann-Hilton argument)

집합 M 위에 두 이항연산 ⊙와 ⊗가 있어 다음을 만족한다고 하자.

i. 각 연산에 대해 (two-sided) unit이 존재한다. 즉 M의 두 원소 e와 f가 있어 모든 a에 대해 a⊙e=e⊙a=a=a⊗f=f⊗a이다.

ii. 각각은 서로에 대해 분배적이다. 즉 모든 a,b,c,d에 대해 (a⊗b)⊙(c⊗d)=(a⊙c)⊗(b⊙d)이다.

이 때 다음이 성립한다.

1. 두 unit은 같다. 즉 e=f이다.

2. 두 이항연산은 같다. 즉 모든 a와 b에 대해 a⊙b=a⊗b이다.

3. ⊙와 ⊗은 교환법칙과 결합법칙을 만족한다. 즉 M은 이 이항연산 아래에서 모노이드가 된다.



처음 이 정리를 보면 이게 2차원의 공간과 무슨 연관이 있는지 감도 안 잡힌다. 시각적인 이해를 위해 다음과 같은 row, column 노테이션을 사용하자.


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그렇다면 조건 ii의 분배적 성질은 다음과 같이 나타낼 수 있다.


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즉, 가로와 세로 연산이 같이 있을 때 어떤 걸 먼저 해도 된다는 뜻이 된다.

이 성질의 특별한 경우로, b와 c를 unit 1이라고 두면 (e=f를 먼저 보인 이후에) 다음과 같은 식을 얻는다.


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이것은 바로 ⊙의 교환법칙이다! (이 논리가 그대로 정리의 증명에 사용된다.)

또 식을 자세히 보면, 단순히 상하관계만 있던 a와 d의 위치를 좌우로 넓힌 다음 빈 공간을 통해 반시계 방향 회전을 한 모양으로도 보인다. 앞서 언급한 "2차원의 여유로운 공간"이 이런 식으로 구현되었다고 볼 수 있겠다.


이제 우리는 도입부에서 보았던 사실들을 매우 간결하게 증명할 수 있다.


1. Higher homotopy group π_n (n>=2)는 abelian group이다.

(증명) π_n의 두 원소 [f]와 [g]에 대해 북반구에서 f, 남반구에서 g로 restrict되는 map을 생각할 수 있고, 서반구에서 f, 동반구에서 g로 restrict되는 map을 생각할 수 있다. 각각의 resulting map의 homotopy class를 통해 [f]와 [g]의 두 이항연산을 정의하면 이들은 Eckmann-Hilton의 조건을 만족하므로 두 연산은 같은 commutative, associative 연산이다. 이 연산이 π_n의 연산과 같은 것은 정의로부터 자명하다. (증명 끝)


2. topological group의 fundamental group은 abelian group이다.

(증명) π_1G의 두 원소 [α]와 [β]가 있을 때 concatenation을 통한 이항연산과 G의 group structure로부터 얻어지는 pointwise multiplication을 통한 이항연산이 존재한다. 이들은 Eckmann-Hilton의 조건을 만족하므로 in particular π_1G의 multiplication인 concatenation은 가환이다. (증명 끝)



마치며) 이 글을 여기까지 읽은 분이라면 분명 조금 더 categorical한 setup에 대해 궁금할텐데, 글쓴이 본인의 귀찮음과 지식의 한계로 인해 이 이상의 무언가를 쓰기는 힘들 것 같다. 더 궁금한 사람들은 아래 링크들을 읽어보시면 좋을 것 같다. category 전공이 아니라 reference의 양이 심각하게 빈약한 것에 양해를 구하며, 혹시 좋은 reference가 있다면 댓글로 남겨주시면 좋겠다.


Wikipedia의 Eckmann-Hilton argument 문서 (https://en.wikipedia.org/wiki/Eckmann–Hilton_argument)

[Batanin] The Eckmann-Hilton argument and higher operads (https://arxiv.org/abs/math/0207281)

[Lurie] On the classification of topological field theories (https://arxiv.org/abs/0905.0465)