[일반] 이럴 때 충분통계량임을 보일 수가 있나요?

[익명(211.244)]

X1, X2, X3가 iid Poisson(lambda) 분포를 갖는다고 할 때
임의의 상수 a1, a2, a3로 만들어진 T=a1X1 + a2X2 + a3X3의 sufficiency를 보여라

이게 질문인데 a1, a2, a3가 1이 아니면 T가 sufficient statistic이 될 수 없지 않나요? 

다른 상수 조합으로도 T의 sufficiency를 보일 수 있는 건가요..? 

[익명(180.67)]

다른 상수로 가능합니다

[익명(211.244)]

어떻게 가능한가요..? 설명 좀 부탁드려도 될까요..

[아벨22.(ciel7)]

당장 1/n sigma X_i도 sufficient할텐데요. T가 sufficient statistic일 때 T와 1대1대응관계에 있는 T'도 sufficient합니다.

[익명(104.28)]

하지만 1/n sigma X_i는 푸아송 분포가 아니잖음

[익명(211.244)]

S : X -> R (x1,x2,x3) |-> x1+x2+x3 T : X -> R (x1,x2,x3) |-> a1x1+a2x2+a3x3 여기서 임의의 함수 g에 대해서 S = g(T) 면 S가 sufficient 하니까 T도 sufficient 하지만 g 함수를 여기서 어떻게 잡을 수 있나요?

[아벨22.(ciel7)]

Sigma X_i를 알면 n을 알고 있다는 가정 하에 1/n sig X_i를 알 수 있고 반대도 성립하기 때문에 당연히 1/n sigma X_i도 sufficient가 맞음.

[아벨22.(ciel7)]

임의의 a1, a2, a3에 대해서 항상 성립하지는 않을거같은데

[익명(211.244)]

모두 1이 아니더라도 성립할 수 있는 케이스가 있을까요?

[익명(223.39)]

포아송 분포의 특징을 잘 생각해보거라

[익명(211.244)]

포아송 분포는 1이 아닌 다른 상수를 곱하면 포아송 분포가 아니게 돼서 T 자체의 분포를 아는 건 어렵지 않나요?

[익명(211.218)]

포아송이 지수족이라 x1 x2 x3 각각이 충분통계량이될수 있고 충분통계량의 함수는 충분 통계량이므로 sigma aixi도 충분 통계량이 될 수 있음 ㅇㅇ 다만 통계적으로 유의미한 통계량은 아님 - dc App